Электромагниттік индукция: магнит және катушка

Магнитті катушка арқылы жылжыт — онда ЭҚК және ток пайда болады. Өріс сызықтарының орамдарды қалай «тесіп» өтетінін, ток қай жерде бағытын өзгертетінін, ол магнитті неге тежейтінін және энергияның қайда кететінін қара.
Симулятор Фарадей заңын ε = −N·dΦ₁/dt, Ленц ережесін, I = ε/R тогын, Ленц күшін және жылуды көрсетеді — бәрі нақты бірліктермен және нақты масштабпен.

магнит қазір қайда (шарлау)

N / S — магнит полюстері — катушка арқылы өтетін өріс сызықтары (олардың саны = ағын) ↓ v — магниттің жылдамдығы ↓ F — магнитке әсер ететін Ленц күші ● — орамдардағы зарядтар (токпен бірге жүгіреді) ↓ B′ — катушканың индукциялық тогының өрісі G — гальванометр тілі (шкала өзі таңдалады)

Тізбек: магниттің қозғалысынан оған әсер ететін күшке дейін

ЭҚК өзгеретін магнит өрісі құйынды электр өрісін тудыратындықтан пайда болады: толығырақ — «Құйынды электр өрісі» симуляторы.

Сахнаның масштабы нақты: сол жақтағы сызғыш сантиметрмен. Магнит нүктелік диполь деп алынады (ол катушкадан айтарлықтай кіші болғанда модель дәл), катушка жұқа — барлық орамдар бір жазықтықта, өздік индукция ескерілмейді.

30 секундта түсіну

Қозғалыс қажет

Магнит катушканың қасында жай тұрса — қаншалықты жақын болса да, ток жоқ. ЭҚК катушка арқылы өтетін өріс сызықтарының саны ӨЗГЕРГЕНДЕ ғана пайда болады. Магнитті жылдамырақ жылжытсаң — сызықтар тезірек өзгереді — ЭҚК үлкенірек.

ЭҚК = ағын қаншалықты жылдам өзгереді

Ағын Φ — «катушка арқылы өріс сызықтарының қаншасы өтеді» (сахнада олар көгілдір). ЭҚК ағынның өзгеру жылдамдығына тең: ε = −N·dΦ₁/dt. Катушканың ортасында ағын ең үлкен, бірақ дәл сол сәтте ол өзгермейді — сондықтан ε = 0, ал ток таңбасын өзгертеді: екі өркешті қисық шығады.

Ток өзінің себебіне қарсы тұрады

Ленц ережесі: индукциялық ток ағынның өзгеруіне кедергі болатындай ағады. Сондықтан магнит әрқашан тежеледі: Ленц күші жылдамдыққа қарсы бағытталған. Бұл — энергияның сақталу заңы: ток алу үшін жұмыс істеу керек, магниттің энергиясы жылуға айналады.

Өзің байқап көр

«Қолмен» режимін қос (немесе магнитті тышқанмен ұста) да, оны алға-кейін жылжыт: жылдамырақ — ЭҚК үлкенірек; тоқтатсаң — магнит катушка ішінде тұрса да ЭҚК = 0.
«Магнит ортасында» батырмасын бас: ағын ең үлкен (Φ ұяшықтарының бәрі толған), ал ток нөлге тең. Неге? Кеңес: ε(t) графигіне қара.
Магнитті аудар: барлық токтар бағытын өзгертеді, бірақ Ленц күші магнитті бұрынғыдай тежейді. Мұны іске қоспай тұрып болжап көр.
Тізбекті аш: ЭҚК бар, ток жоқ — және магнит еркін дене сияқты құлайды («елес» магнитпен беттеседі).
«Еркін түсу» режимі, «Қалқитын магнит» тәжірибесі: R аз және N көп тұйық тізбекте магнит дерлік бірқалыпты түседі — Ленц күші ауырлық күшін теңестіреді, ал бүкіл энергия жылуға кетеді.

Өмірде қайда қолданылады

Электр станцияларының генераторлары: катушкалар магнит өрісінде айналады — ағын өзгереді де, оларда ЭҚК пайда болады.
Индукциялық плита: айнымалы өріс кастрөл түбінде құйынды токтар тудырады, ыдыстың өзі қызады.
Сымсыз зарядтау: зарядтағыш катушка айнымалы өріс жасайды, ал телефон катушкасында ЭҚК пайда болады.
Гитара дыбыс алғышы және динамикалық микрофон: ішектің немесе мембрананың тербелісі ағынды өзгертеді де, электр сигналы шығады.
Пойыздар мен аттракциондардың магнитті тежегіштері: мыс пластина магнит өрісінде үйкеліссіз тежеледі — бұл Ленц күші.

Бір өтудің графиктері

Бір өту кезіндегі Φ ағыны, ε ЭҚК және F Ленц күші. ε(t) қисығының астындағы штрихталған аудан ағынның кемуіне тең: ∫ε dt = −ΔΦ. Назар аудар: ток бағытын өзгертеді, ал Ленц күші әрқашан бір таңбалы — ол кіргенде де, шыққанда да тежейді.

Баяулату

Дайын тәжірибелер

Магнит қалай қозғалады

v магнит жылдамдығы

Қозғалыс бағыты

Қай полюс жоғарыда

N орам саны

a катушка радиусы

m магнит моменті (және масса)

Тұйық тізбек

R тізбек кедергісі

Көрсету

магнит өрісінің сызықтары (көгілдір — катушка арқылы өткендері)

орамдардағы зарядтар (моншақтар)

«елес»: катушка болмағанда магнит қайда болар еді

Модель: магнит — катушка осіндегі нүктелік диполь, бір орам арқылы өтетін ағын Φ₁ = μ₀·m·a² / (2·(a²+z²)^{3/2}), ЭҚК ε = −N·dΦ₁/dt, ток бағыты Ленц ережесімен анықталады. Қозғалыс дәл есептеледі, сондықтан сандар кадр жиілігіне де, көрсету жылдамдығына да байланысты емес: көрсетуді баяулатуға болады, ал сандар мен графиктер әрқашан нақты уақытта. Магниттің массасы — әр А·м² үшін 7,5 г (неодим).

Басты ой: ЭҚК-ні ағынның өзі емес, оның өзгеру жылдамдығы тудырады. Сондықтан ε(t) қисығының таңбалары қарама-қарсы екі өркеші және катушка ортасында нөлі бар — ал Ленц күші магнитті үнемі тежейді.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Магниттің бір орам арқылы өтетін ағыны

$$\Phi_1(z) = \frac{\mu_0\, m\, a^2}{2\,(a^2+z^2)^{3/2}}, \qquad \Phi = N\,\Phi_1$$

a радиусты орам осіндегі m нүктелік дипольі, z — магниттен орам жазықтығына дейінгі қашықтық; катушка ағыны N орам бойынша қосылады

▶ Толық түсіндірме

Ағынды «орам арқылы өткен өріс сызықтарының саны» деп елестетуге болады. Катушканың ортасында (z = 0) ол ең үлкен: Φ₁ = μ₀m/(2a); радиус бөліміде тұр, сондықтан кең катушка тар катушкадан аз ағын жинайды. Алыста (|z| ≫ a) ағын 1/|z|³ заңымен кемиді — магнитті орамдарға жақын жүргізу керек.

Ағынның таңбасы магниттің бағдарына байланысты: солтүстік полюсі жоғары, нормаль жоғары болса ағын оң, аударылған магнитте — теріс. Катушканың толық ағыны Φ = N·Φ₁ орам санымен өседі, сондықтан ЭҚК да N-ге пропорционал.

Фарадей заңы

$$\varepsilon = -N\,\frac{d\Phi_1}{dt} = -N\,\frac{d\Phi_1}{dz}\,v, \qquad \frac{d\Phi_1}{dz} = -\frac{3\,\mu_0\, m\, a^2\, z}{2\,(a^2+z^2)^{5/2}}$$

ЭҚК — ағынның өзгеру жылдамдығы: орынға байланысты өзгеретін ағын да, v жылдамдығы да қажет; ортасында dΦ₁/dz = 0

▶ Толық түсіндірме

Φ₁(z)-ті Фарадей заңына қойсақ, ε = 3·N·μ₀·m·a²·z·v / (2·(a²+z²)^{5/2}) шығады. Қозғалмайтын магнит (v = 0) қаншалықты жақын болса да ЭҚК бермейді. Катушканың ортасында (z = 0) ағын ең үлкен, оның z бойынша туындысы нөлге тең, сондықтан ε = 0 — ε(t) графигінде екі өркештің арасында нөл болатыны сондықтан.

Минус таңбасы — Ленц ережесі: ток ағынның өзгеруіне қарсы әрекет етеді. Симуляторда оң ЭҚК жоғарыдан қарағанда токтың сағат тіліне қарсы ағатынын білдіреді.

Ең үлкен ЭҚК

$$\varepsilon_{\max} = \frac{24\sqrt5}{125}\,\frac{\mu_0\, N\, m\, v}{a^2} \approx 0.43\,\frac{\mu_0\, N\, m\, v}{a^2} \quad (z = \pm a/2)$$

Жылдамдық тұрақты болғанда ЭҚК магнит орам жазықтығынан a/2 қашықтықта тұрғанда ең үлкен болады; ε_max ∝ N·m·v/a²

▶ Толық түсіндірме

Ағын |dΦ₁/dz| ең үлкен жерде — z = ±a/2 нүктелерінде — ең жылдам өзгереді. z = a/2 қойсақ, ε_max = (24√5/125)·μ₀·N·m·v/a² шығады. Формула ЭҚК-ні қалай арттыруға болатынын көрсетеді: орам саны N көп, магнит m күшті, қозғалыс v жылдам, ал катушка тар (1/a² көбейткіші). N = 100, m = 1 А·м², a = 4 см, v = 1 м/с үшін 33,7 мВ шығады — симулятор осы санды көрсетеді.

Бұл тексеруге ыңғайлы: «Жұмбақ катушка» зертханасында ε_max N-ге пропорционал, демек N = 100·ε_max/ε₁₀₀.

Ток, Ленц күші және жылу

$$I = \frac{\varepsilon}{R}, \qquad F = -\frac{\left(N\,\dfrac{d\Phi_1}{dz}\right)^{2}}{R}\,v, \qquad P = \frac{\varepsilon^2}{R} = -F\,v$$

Ленц күші әрқашан жылдамдыққа қарсы бағытталған; оның қуаты түгелдей ε²/R жылуына кетеді

▶ Толық түсіндірме

Тұйық тізбектегі ток I = ε/R. Катушканың тогы өз магнит өрісін тудырады, ол магнитке F күшімен әсер етеді. Энергияның сақталу заңынан F·v = −ε·I = −ε²/R, осыдан F = −(N·dΦ₁/dz)²·v/R. Күш әрқашан жылдамдыққа қарсы: ток бағытын өзгертсе де, магнит кіргенде де, шыққанда да тежеледі.

Осы күшке қарсы жұмыс жылуға айналады: Q = ∫ε²/R dt. Ашық тізбекте I = 0, сондықтан F = 0 және Q = 0: ЭҚК бар, бірақ ол ештеңені тежемейді. R аз болса — ток көп және тежелу күшті.

ε(t) қисығының астындағы аудан және заряд

$$\int \varepsilon\,dt = -N\,\Delta\Phi_1, \qquad q = \int I\,dt = -\frac{N\,\Delta\Phi_1}{R}$$

ЭҚК графигінің астындағы аудан ағынның кемуіне тең; тізбек арқылы өткен заряд тек ағынның өзгерісі мен R-ге байланысты

▶ Толық түсіндірме

Фарадей заңын интегралдасақ, ∫ε dt = −N·ΔΦ₁ шығады: ε(t) графигінде ағымдағы сәтке дейінгі штрихталған аудан Φ(0) − Φ(t) ағынының кемуіне тең. Қозғалыс жылдамдығы бұл ауданға әсер етпейді — жылдамырақ қозғалыс сол аудандағы биік әрі тар өркештер береді.

Егер магнит жолын катушкадан алыста, Φ ≈ 0 жерде бастап, сонда аяқтаса, жиынтық аудан нөлге тең: екі өркеш қарама-қарсы. q = −N·ΔΦ₁/R заряды да нөлге оралады — сахнадағы орамдардағы алтын «моншақтар» алдымен алға, сосын кері жүгіреді.

Магниттің катушка арқылы құлауы

$$M\ddot z = -Mg + F, \qquad v_t = \frac{M\,g\,R}{\left(N\,d\Phi_1/dz\right)^{2}}, \qquad Mg\,\Delta h = \tfrac12 M v^2 + Q$$

Ауырлық күші және Ленц күші; олар тең болғанда жылдамдық тұрақты; жоғалған потенциалдық энергия = кинетикалық + жылу

▶ Толық түсіндірме

Токсыз магнит еркін құлайды: 0,286 с-та 40 см өтеді. Тұйық тізбекте ауырлық күшіне жылдамдықпен өсетін Ленц күші қосылады. N, m үлкен, R аз болса, катушка аймағында ол M·g-ны теңестіреді, ал магнит v_t = M·g·R/(N·dΦ₁/dz)² тұрақты жылдамдықпен түседі — мыс құбырдағыдай «қалқып» тұрады.

Симулятордағы магниттің массасы — әр А·м² үшін 7,5 г (неодим). Энергия сақталады: M·g·Δh = ½Mv² + Q, ал «қалқып» тұрғанда жоғалған потенциалдық энергияның дерлік бәрі бірден тізбектегі жылуға айналады.

Шағын тұрақты магниттің өрісін m моментті нүктелік диполь жақсы сипаттайды. Осьте магниттен z қашықтықта жатқан a радиусты бір орам арқылы өтетін осы өрістің ағыны Φ₁(z) = μ₀·m·a² / (2·(a²+z²)^{3/2}) болады. Катушканың ортасында (z = 0) ол ең үлкен және μ₀m/(2a)-ға тең, ал алыста 1/|z|³ заңымен кемиді. Ағынды «катушка арқылы өткен өріс сызықтарының саны» деп елестету ыңғайлы: сахнада орамдар арқылы өтетін сызықтар ғана көгілдір түспен ерекшеленеді, олардың саны Φ-ге пропорционал. N бірдей орамнан тұратын катушканың толық ағыны Φ = N·Φ₁.

Фарадей заңы: ЭҚК ағынның өзгеру жылдамдығына тең, таңбасы теріс: ε = −N·dΦ₁/dt = −N·(dΦ₁/dz)·v. Демек, қозғалмайтын магнит ағыны қаншалықты үлкен болса да ЭҚК бермейді, ал магнит жылдамырақ қозғалған сайын ЭҚК үлкен болады. Катушканың ортасында ағын ең үлкен, бірақ оның туындысы нөлге тең — онда ε = 0 және ток таңбасын өзгертеді. Ең үлкен ЭҚК ағын ең жылдам өзгеретін z = ±a/2 нүктелерінде шығады: ε_max = (24√5/125)·μ₀·N·m·v/a² ≈ 0,43·μ₀·N·m·v/a². Жылдамдық тұрақты болса, ε(t) қисығының екі өркеші биіктігі бірдей, таңбасы қарама-қарсы.

Кез келген аралықтағы ε(t) қисығының астындағы аудан ағынның өзгерісіне тең: ∫ε dt = −N·ΔΦ₁. Магнит жолын катушкадан алыста, ағын нөлге жақын жерде бастап, сонда аяқтайды, сондықтан екі өркештің аудандары шамасы бойынша тең, таңбасы қарама-қарсы, ал тізбек арқылы өткен толық заряд q = −N·ΔΦ₁/R нөлге тең: орамдардағы зарядтар алдымен бір жаққа жүгіріп, сосын қайтып оралады.

Токтың бағытын Ленц ережесі анықтайды: индукциялық ток өзінің өрісі ағынның өзгеруіне кедергі болатындай ағады. Магнит жақындағанда катушка оған аттас полюспен бұрылып, оны тебеді; магнит алыстағанда катушка оған аттас емес полюспен бұрылып, оны тартады. Ленц күші F = −(N·dΦ₁/dz)²·v/R әрқашан жылдамдыққа қарсы бағытталған, сондықтан ол тек тежейді: ток бағытын өзгертеді, ал күш өзгертпейді. Бұл күш «тартып алатын» қуат P = −F·v = ε²/R түгелдей тізбектегі жылуға айналады — бұл энергияның сақталу заңы.

«Еркін түсу» режимінде магнит ауырлық күші мен Ленц күшінің әсерінен қозғалады: M·z̈ = −M·g + F. Тізбек ашық болса, ток жоқ, F = 0, және магнит +20 см-ден −20 см-ге дейін 0,286 с-та еркін дене сияқты ұшып өтеді. Кедергісі аз және орамы көп тұйық тізбекте Ленц күші ауырлық күшін теңестіре алады: магнит v = M·g·R/(N·dΦ₁/dz)² тұрақты жылдамдықпен түседі, ал бүкіл потенциалдық энергия жылуға айналады: M·g·Δh = ½Mv² + Q («Қалқитын магнит» тәжірибесі). ЭҚК-нің физикалық себебі — өзгеретін магнит өрісі туғызатын құйынды электр өрісі: ЭҚК контурдың өзінде пайда болады және катушканың материалына байланысты емес, ал ток тек тұйық тізбекте жүреді.