Лоренц күші: магнит өрісіндегі заряд

Зарядталған бөлшек магнит өрісінде қозғалғанда, оған Лоренц күші әсер етеді:
F = |q| · v · B · sin α
мұндағы q — бөлшектің заряды, v — оның жылдамдығы, B — өріс индукциясы, α — жылдамдық пен өріс сызықтарының арасындағы бұрыш. Бұл күш жылдамдыққа перпендикуляр, сондықтан бөлшекті үдетпейді, тек бұрады.

Жоғарыдан B бойымен көрініс (x–z): шеңбер

Бүйірден көрініс (z–y): қадамы h синусоида

30 секундта түсіну

Лоренц күші тек бұрады

Магнит өрісі тек қозғалып бара жатқан зарядқа әсер етеді, ал күш әрқашан жылдамдыққа перпендикуляр — тасты жіпке байлап айналдырғандай. Мұндай күш бөлшекті үдетпейді де, тежемейді де: ол жылдамдықтың бағытын өзгертеді, ал жылдамдықтың шамасы сол қалпында қалады.

Жылдамдықты екі бөлікке бөлеміз

Өріс сызықтары бойымен күш әсер етпейді — бөлшек онда бірқалыпты ұшады (v∥ = v·cos α). Өріске көлденең бағытта күш қозғалысты шеңберге бұрады (v⊥ = v·sin α). Өріс бойымен бірқалыпты жүріс пен көлденеңінен айналу бұранданың оймасындай спираль береді. α = 90° болғанда таза шеңбер, α = 0° болғанда түзу қалады.

Бір айналым жылдамдыққа байланысты емес

Жылдам бөлшек үлкен шеңбермен, баяу бөлшек кіші шеңбермен жүреді, бірақ бір айналымға кететін уақыт бірдей: T = 2πm/(|q|B). Өріс пен бөлшек сол күйінде болса, «сағат» өзгермейді. Бөлшек үдеткіші — циклотрон дәл осыған негізделген.

Өзің байқап көр

«Шеңбер», «Спираль» және «Өріс бойымен» батырмаларын кезекпен бас та, жолдарды салыстыр: α бұрышы кіші болған сайын спираль тіктеп көтеріледі, ал α = 0° болғанда түзу қалады.
«v ×2» батырмасы: радиус екі есе өседі, ал период өзгермейді (сахнадағы жарқылға және төмендегі оң жақ графикке қара).
«B ×2» батырмасы: радиус та, период те екі есе азаяды — күшті өріс тығыздау бұрады. Көк өріс сызықтарының қалай қоюланатынын бақыла.
Электронды протонға ауыстыр. Заряд шамасы бірдей, бірақ масса 1836 есе үлкен: радиус пен период те 1836 есе үлкен. (Сурет нормаланған — сандарға қара.)
«E×B дрейфі» батырмасын бас: электр өрісі орбитаны E/B жылдамдықпен бүйірге ығыстырады. Сосын α = 0° қой — бөлшек түзу ұшып өтеді: бұл «жылдамдық сүзгісі».

Графиктер: период неге жылдамдыққа байланысты емес

Сол жақта — жылдамдық векторының құраушылары: ширек периодқа ығысқан екі толқын (v⊥ векторы айналады) және тегіс v∥ сызығы. Оң жақта — жылдамдықты өзгертсең не болады: радиус тура пропорционал өседі, ал период бірге тең күйінде қалады.

Екі айналымдағы жылдамдық құраушылары

Әртүрлі жылдамдықтағы радиус пен период (қазіргісінің үлесімен)

Қайда кездеседі

Полярлық шұғылаКүн желінің зарядталған бөлшектері Жердің магнит өрісінің сызықтарына оралып, спиральмен полюстерге түседі — атмосфера дәл сонда жарқырайды.

Масс-спектрометрОрбита радиусы r = mv/(|q|B) массаға тәуелді, сондықтан пластинаға түскен орнынан бөлшектің массасын біліп, изотоптарды ажыратады — химияда, медицинада, криминалистикада.

ЦиклотронАйналу периоды жылдамдыққа байланысты емес, сондықтан үдеткіш өрісті әрдайым бірдей жиілікпен қосуға болады — бөлшек әр айналымда энергияның жаңа үлесін алады.

Электронды-сәулелік түтікЕскі теледидарлар мен осциллографтарда электрондар шоғын магнит катушкаларымен ауытқытады: Лоренц күші сәулені экранның қажетті жеріне бағыттайды.

Термоядролық реакторТокамакта ыстық плазманы магнит өрісі ұстап тұрады: зарядталған бөлшектер күш сызықтарына спиральмен оралып, қабырғаға жетпейді.

Бір басумен тәжірибелер

Бөлшек

q заряд таңбасы −

v жылдамдық 1,00 10⁶ м/с

α v мен B арасындағы бұрыш 60°

B индукция 10 мТл

E ⊥ B электр өрісін қосу

E кернеулік 5,0 кВ/м

Егер… болса не болады?

Көрсету жылдамдығы

Тек көрсету қарқынын өзгертеді, сандар өзгермейді 1×

Көрсету

Бөлшек ізі

v-ны v∥ және v⊥ құраушыларына жіктеу

Шеңбер, центр және радиус r

B магнит өрісінің сызықтары

Камераны баяу айналдыру

«Өлшеулер» панеліндегі және табломен көрсетілген сандар — нақты, СИ жүйесінде. Сурет нормаланған: масштаб орамдар кадрға сиятындай, ал қарқын бір айналым шамамен 3 секундқа созылатындай (B = 10 мТл болғанда) таңдалған, сондықтан электрон мен протон экранда ұқсас көрінеді, бірақ шын мәнінде олардың периодтары мыңдаған есе ерекшеленеді. E қосулы болғанда v⊥ — дрейфтеп бара жатқан орбитаға қатысты айналу жылдамдығы.

Біртекті магнит өрісіндегі зарядталған бөлшек: α = 90° болғанда — шеңбер, кез келген басқа бұрышта — спираль, ал E ⊥ B өрісі қосылғанда — v_d = E/B дрейфі бар трохоида. Сахнаны тінтуірмен айналдырып, жылдамдықты, бұрышты және индукцияны өзгерт — формулалар сенің сандарыңмен бірден көрінеді.

Мыналарды да қара

Магнит өрісіндегі зарядталған бөлшекЖазық нұсқа: шеңбер, өріс жолағына ұшып кіру және масс-спектрометр Ампер күшіСол Лоренц күші, тек тогы бар өткізгішке — бірден өте көп зарядқа әсер етеді Электр өрісіндегі зарядОнда күш өріс бойымен бағытталған — бөлшек үдейді. Магнит өрісімен салыстыр

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Лоренц күші

$$\vec{F} = q\,\vec{v} \times \vec{B}, \qquad F = |q|\,v_\perp B$$

Күш жылдамдыққа да, өріске де перпендикуляр: жұмыс атқармайды, жылдамдықты тек бұрады

▶ Толық түсіндірме

Лоренц күші заряд, жылдамдық және магнит индукциясының векторлық көбейтіндісіне тең: F = qv×B. Векторлық көбейтіндінің анықтамасы бойынша ол екі көбейткішке де — v-ға да, B-ға да — перпендикуляр, демек бөлшектің әр сәттегі орын ауыстыруына да перпендикуляр. Жұмыс A = F·Δs·cos 90° = 0: күш бөлшекті не үдете алмайды, не тежей алмайды, тек жылдамдық векторын үздіксіз бұрады. Күштің модулі F = |q|vB·sin α, мұндағы α — v мен B арасындағы бұрыш; жылдамдықтың көлденең құраушысы арқылы F = |q|v⊥B. Өріс бойымен қозғалғанда (α = 0) күш нөлге тең, перпендикуляр кіргенде (α = 90°) ең үлкен болады және шеңбердің центрге тартқыш күші ретінде жұмыс істейді. Заряд таңбасы тек бағытты өзгертеді: q > 0 болғанда күштің бағытын v×B үшін оң қол (бұрғы) ережесі береді, q < 0 болғанда күш қарама-қарсы бағытталады, сондықтан электрондар бір өрісте протондарға қарсы жаққа бұрылады. Мектеп тілінде бұл — сол қол ережесі: B сызықтары алақанға кіреді, төрт саусақ оң зарядтың жылдамдығы бойымен жүреді, бүгілген бас бармақ күшті көрсетеді. Симуляторда бұл күш қызыл жебемен салынған — ол әрқашан жасыл жылдамдық жебесіне перпендикуляр.

Жылдамдықты v∥ және v⊥ құраушыларына жіктеу

$$v_\parallel = v\cos\alpha, \qquad v_\perp = v\sin\alpha, \qquad F = |q|\,v\,B\sin\alpha$$

Өріс бойымен күш әсер етпейді, көлденеңінде — бұрады; α — жылдамдық пен B сызықтары арасындағы бұрыш

▶ Толық түсіндірме

Спиральды түсіну үшін жылдамдықты өріс сызықтарына қатысты екі құраушыға жіктеген ыңғайлы. B бойымен: v∥ = v·cos α. Ол үшін v∥×B векторлық көбейтіндісі нөлге тең, сондықтан оған күш әсер етпейді және v∥ тұрақты қалады — бөлшек өріс бойымен бірқалыпты қозғалады. B-ға көлденең: v⊥ = v·sin α. Дәл осы құраушы F = |q|v⊥B = |q|vB·sin α күшін береді, ол әрдайым v⊥-ге перпендикуляр және оны бұрады — нәтижесінде шеңбер бойымен айналу шығады. Екі құраушы бір-біріне тәуелсіз қозғалады: көлденең қозғалыс бойлық қозғалысқа кедергі келтірмейді, және керісінше, сондықтан оларды жай қосуға болады. α = 90° болса v∥ = 0, яғни таза шеңбер; α = 0° болса v⊥ = 0, яғни түзу. Сахнада «v-ны v∥ және v⊥ құраушыларына жіктеу» белгісін қой: ақшыл жасыл жебелер екі құраушыны да көрсетеді, ал «Жылдамдық құраушылары» графигіндегі тегіс үзік сызық — v∥, екі толқын — айналатын v⊥.

Орбита радиусы (Лармор радиусы)

$$r = \frac{m\,v_\perp}{|q|\,B}$$

Көлденең құраушының импульсі неғұрлым үлкен болса, шеңбер соғұрлым кең; өріс пен заряд оны қысады

▶ Толық түсіндірме

Магнит күші жылдамдықты өзгертпейді, сондықтан бөлшек тұрақты v⊥ жылдамдықпен шеңбер бойымен үздіксіз қозғалады, ал Лоренц күші центрге тартқыш күштің рөлін атқарады: |q|v⊥B = m·v⊥²/r. Осыдан r = m·v⊥/(|q|·B) шығады — бұл Лармор радиусы, яғни циклотрон радиусы. Бөлгіште заряд пен индукция тұр: өріс неғұрлым күшті және |q| неғұрлым үлкен болса, жол соғұрлым қатты бұрылады да, радиус кішірейеді. Алымда импульс тұр: ауыр немесе жылдам бөлшек орбитаны сыртқа «итереді». Салыстыру үшін: B = 10 мТл өрісінде v⊥ = 10⁶ м/с электрон шамамен 0,6 мм радиуспен айналады, ал дәл сондай жылдамдықты протонға шамамен 1,0 м қажет — айырмашылықтың бәрі массада. Симуляторда сахна масштабы автоматты түрде таңдалады, сондықтан кез келген радиустағы шеңбер кадрға сыяды, ал r-дің нақты мәні әрдайым табло мен «Өлшеулер» панелінде көрінеді.

Айналу периоды мен жиілігі

$$T = \frac{2\pi m}{|q|\,B}, \qquad f = \frac{1}{T}, \qquad \omega = \frac{|q|\,B}{m}$$

Период не жылдамдыққа, не радиусқа байланысты емес — циклотрон осыған негізделген

▶ Толық түсіндірме

Айналу периоды шеңбер ұзындығын жылдамдыққа бөлгенге тең: T = 2πr/v⊥. r = m·v⊥/(|q|·B) радиусын қойсақ, v⊥ қысқарады: T = 2πm/(|q|·B). Жылдамдық нәтижеден жоғалды: бөлшек қанша жылдам ұшса да және орбитасының радиусы қандай болса да, толық айналымға бірдей уақыт жұмсайды. Циклотрон осыған негізделген — бұл үдеткіште үдетуші өрістің жиілігі тұрақты, өйткені бөлшектің периоды да тұрақты. ω = |q|B/m бұрыштық жиілігі мен f = 1/T жиілігін тек зарядтың массаға қатынасы мен өріс анықтайды: электронның |q|/m мәні протонның мәнінен шамамен 1836 есе үлкен, сондықтан бірдей өрісте ол мыңдаған есе тез бұралады — электронның периоды наносекундпен, протонның периоды микросекундпен өлшенеді (B = 10 мТл болғанда: 3,6 нс және 6,6 мкс). «v ×2» және «B ×2» батырмаларын байқап көр: период жылдамдыққа байланысты өзгермейді, ал өріске кері пропорционал. Табломен көрсетілген «экранда 1 с» жолы көрсетудің қанша есе баяулатылғанын көрсетеді — сондықтан периоды әртүрлі бөлшектер сахнада бірдей көзге түсерлік айналады.

Спираль қадамы

$$h = v_\parallel T = \frac{2\pi m\, v_\parallel}{|q|\,B}$$

Бір айналымдағы өріс бойымен жүрілген қашықтық: α кішірейгенде өседі, α = 90° болғанда қадам жоқ — шеңбер

▶ Толық түсіндірме

Жылдамдықтың өріс бойымен бағытталған құраушысы ешқандай күшті сезбейді және бір T периодында бөлшекті өріс бойымен h = v∥·T қашықтыққа апарады — бұл спираль қадамы, көрші орамдар арасындағы қашықтық. Периодты қойсақ, h = 2πm·v∥/(|q|·B) шығады. Қадам v∥ = v·cos α шамасына пропорционал: α = 90° болғанда ол нөлге тең және жол шеңберге айналады, ал α = 0° болғанда көлденең құраушы мүлде жоқ — өріс сызықтары бойымен түзу ғана қалады. α неғұрлым кіші болса, спираль соғұрлым созылады. «Бүйірден» көрінісінде жол синусоида түрінде көрінеді, көрші төбелердің арақашықтығын оңай өлшеп, «Өлшеулер» панеліндегі h-пен салыстыруға болады — панельдегі алтын жақша бір қадамды белгілейді. Назар аудар: сахна масштабы нормаланған, сондықтан әртүрлі бөлшектерде спираль бірдей көрінеді, ал нақты h әртүрлі.

Магнит күші жұмыс атқармайды

$$A = \vec{F}\cdot\Delta\vec{s} = 0, \qquad E_{\text{к}} = \frac{mv^2}{2} = \text{const}$$

Күш орын ауыстыруға перпендикуляр, сондықтан жылдамдық пен кинетикалық энергия өзгермейді; тек электр өрісі ғана үдете алады

▶ Толық түсіндірме

Күштің аз орын ауыстырудағы жұмысы A = F·Δs·cos β, мұндағы β — күш пен орын ауыстыру арасындағы бұрыш. Бөлшектің орын ауыстыруы жылдамдық бойымен бағытталған, ал Лоренц күші жылдамдыққа перпендикуляр, сондықтан β = 90°, cos β = 0 және жұмыс әр сәтте нөлге тең. Кинетикалық энергия туралы теорема бойынша жұмыс Eк өзгерісіне тең, демек кинетикалық энергия E = mv²/2 мен жылдамдық модулі тұрақты: магнит өрісі жылдамдықтың тек бағытын өзгертеді. Бұл электр өрісінен түбегейлі айырмашылық: онда F = qE күші өріс бойымен бағытталған, жұмыс атқарады және зарядты үдетеді. Сондықтан сахнада E ⊥ B өрісі қосылғанда, табломен көрсетілген жылдамдық пен Eк тербеле бастайды — энергияны магнит өрісі емес, электр өрісі өзгертеді. Ал E өшірулі болса, таблодағы |v| және Eк жолдары қанша уақыт өтсе де тұрақты қалады.

Қиылысқан E және B өрістеріндегі дрейф

$$v_d = \frac{E}{B}, \qquad \vec{v}_d \perp \vec{E},\ \vec{v}_d \perp \vec{B}$$

Қиылысқан E өрісімен бөлшек E/B жылдамдықпен бүйірге ығысады — спираль орнына трохоида

▶ Толық түсіндірме

Магнит өрісіне оған перпендикуляр электр өрісін қоссақ, бөлшекке qE күші де әсер ете бастайды. Ол қысқа уақыт ішінде бөлшекті E бойымен үдетеді, содан кейін магнит күші жолды қайта бұрады — цикл сайын осылай қайталанады. Бір период бойынша орташа алғанда E мен B үлестері теңеседі және бөлшектің орташа жылдамдығы екі өріске де перпендикуляр болып шығады: бұл v_d = E/B дрейф жылдамдығы. Маңыздысы — ол зарядқа да, массаға да, таңбаға да байланысты емес: барлық бөлшектер бірдей ығысады. Жол спираль болудан қалып, трохоидаға айналады: айналу центрі v_d жылдамдықпен бірқалыпты қозғалады, ал шеңбер оның айналасында «домалайды». Бір периодта бөлшек дәл v_d·T-ге ығысады — «Бүйірден» көрінісінде осы ығысуды өлшеп, дрейфті табуға болады. Жолдың түрі v_d мен v⊥ қатынасына байланысты: v_d < v⊥ болса — ілмектер, v_d = v⊥ болса — үшкір жерлі циклоида (төменгі нүктеде бөлшек бір сәтке тоқтайды), v_d > v⊥ болса — толқынды сызық. Егер v⊥ = 0 болса, qE және q·v_d·B күштері тең әрі қарама-қарсы: бөлшек түзу ұшады — бұл тек E/B жылдамдықты бөлшектерді өткізетін «жылдамдық сүзгісінің» қағидасы. Сахнада «E×B дрейфі» батырмасын байқап көр, сосын α = 0° қой.

Мұнда не болып жатыр. Заряд қозғалмай тұрғанда магнит өрісі оны «байқамайды»; заряд қозғала бастаса, оған Лоренц күші F = q·v×B әсер етеді. Ол жылдамдыққа да, өріс сызықтарына да қатаң перпендикуляр бағытталған. Мұндай күш бөлшекті алға итермейді де, тежемейді де, тек жылдамдық векторын бұрады — тасты жіпке байлап бас үстінде айналдырғандай. Сондықтан жылдамдықтың модулі мен кинетикалық энергия магнит өрісінен өзгермейді: жұмыс A = F·Δs·cos 90° = 0.

Жылдамдықты екі бөлікке жіктейміз. α бұрышы — жылдамдық пен өріс сызықтары арасындағы бұрыш. Өріс бойымен бағытталған құраушы v∥ = v·cos α күшті сезбейді және тұрақты қалады: бөлшек B бойымен бірқалыпты жылжиды. Өріске көлденең құраушы v⊥ = v·sin α айналады: Лоренц күші центрге тартқыш күштің рөлін атқарады, mv⊥²/r = |q|v⊥B. Өріс бойымен бірқалыпты қозғалысты көлденең айналумен қоссақ — спираль (бұранда сызығы) шығады. α = 90° болғанда таза шеңбер, α = 0° болғанда түзу қалады: өріс сызықтары бойымен күш нөлге тең.

Радиус, период және қадам. Радиус r = m·v⊥/(|q|B): ауыр әрі жылдам бөлшек үлкенірек шеңбер сызады, ал күшті өріс пен үлкен заряд оны кішірейтеді. Период T = 2πm/(|q|B) жылдамдыққа байланысты емес — жылдам бөлшек үлкен шеңбермен жүгіреді, бірақ сол уақытта үлгереді. Спираль қадамы h = v∥·T — бір айналымда өріс бойымен жүрілген қашықтық. Осы сандардың бәрі сенің мәндеріңмен табломен, «Өлшеулер» панелінде және сахнаның астында көрсетіледі.

Бөлшек қайда бұрылады. Айналу бағыты заряд таңбасына байланысты. Жоғарыдан (B сызықтарына қарсы) қарағанда оң заряд сағат тілі бағытымен, теріс заряд — сағат тіліне қарсы айналады. Мектептегі сол қол ережесі: B сызықтары алақанға кіреді, төрт саусақ оң зарядтың қозғалысы бойымен (теріс заряд үшін — қозғалысқа қарсы) бағытталады, ал бүгілген бас бармақ күштің бағытын көрсетеді. Электрон мен протон бір өрісте қарама-қарсы жаққа бұрылады; протонның массасы 1836 есе үлкен, сондықтан оның шеңбері мен периоды да 1836 есе үлкен.

Қиылысқан E және B өрістері. Магнит өрісіне E ⊥ B электр өрісін қоссақ, бөлшекке qE күші де әсер етеді. Электр күші бөлшекті бүйірге итереді, магнит күші бұрады, ал орта есеппен бірқалыпты ығысу шығады — ол v_d = E/B дрейф жылдамдығы, екі өріске де перпендикуляр (заряд шамасына, массаға және таңбаға тәуелді емес). Жол — трохоида: v_d < v⊥ болса ілмекті, v_d = v⊥ болса үшкір жерлі циклоида, v_d > v⊥ болса толқынды сызық. Магнит өрісінен өзгеше, электр өрісі жұмыс атқарады, сондықтан бөлшектің жылдамдығы тербеледі. Егер v⊥ = 0 және жылдамдық E/B-ға тең болса, qE және q·v·B күштері бір-бірін теңестіреді де, бөлшек түзу ұшады: масс-спектрометрдің «жылдамдық сүзгісі» осылай жұмыс істейді.

Сахнаны қалай оқу керек. Кішкентай жебелері бар көк сызықтар — B магнит өрісі (неғұрлым тығыз болса, соғұрлым күшті). Жасыл жебе — v жылдамдығы, қызыл жебе — Лоренц күші F: ол әрқашан шеңбердің центріне қарайды. «B бойымен» және «Бүйірден» батырмалары сахна астындағы екі проекцияға сәйкес көріністер береді: жоғарыдан шеңбер, бүйірден — қадамы h синусоида көрінеді. Жебелердің ұзындығы шартты, ал табломен көрсетілген сандар нақты. Әртүрлі бөлшектердің нақты радиустары мен периоды мыңдаған есе ерекшеленеді, сондықтан сурет нормаланған, ал «экранда 1 с» жолы уақыттың қанша есе баяулатылғанын көрсетеді.

Қайда кездеседі. Полярлық шұғылалар, Жердің радиациялық белдеулері, масс-спектрометрлер, циклотрондар мен синхротрондар, электронды-сәулелік түтіктер, термоядролық реакторлардың магнит тұзақтары, Холл датчиктері. Сондай-ақ магнит өрісіндегі бөлшектің қозғалысы симуляторымен (өлшеуіш торы мен масс-спектрометрі бар жазық нұсқа) және Ампер күшімен салыстыр.