Ток магнит өрісі: сым, орам, соленоид

Тұрақты ток I өткізгіштің айналасында B индукциясы бар магнит өрісін тудырады.
Өріс сызықтарының бағытын бұрауыш (оң қол) ережесі, ал шамасын Био–Савар заңы анықтайды:
шексіз сым үшін B = μ₀I / (2πr), ұзын соленоидтың ішінде B = μ₀nI.

Магнит өрістерінің шкаласы: сенің өрісің қаншалықты күшті? (логарифмдік шкала — оңға қарай бірнеше есе күшті)

Жер50 мкТл тоңазытқыш магниті5 мТл МРТ томографы1,5 Тл

Сахнада не не екені

Жүгіріп жүрген шамдары бар көк сызықтар — B магнит өрісінің сызықтары: шамдар өріс бағытталған жаққа жүгіреді. Сызықтар неғұрлым тығыз, жарық әрі жуан болса, өріс соғұрлым күшті: өткізгіштің жанында олар тығыздалады, алыста сиреп кетеді.
Алтын шамдар мен көрсеткі — электр тогы I: ток бағыты шартты түрде «+»-тан «−»-ке қарай алынады (шын мәнінде электрондар қарсы жүгіреді). Ток неғұрлым көп болса, шамдар соғұрлым жылдам, жарқыл соғұрлым жарық.
Сары нүктедегі қызыл-ақ көрсеткі — компас инесі: қызыл ұшы B бағытын көрсетеді. Сары нүктені тышқанмен немесе саусақпен жылжыт — ине өріс бойымен бұрылады, ал таблодағы сандар қайта есептеледі.
Қызыл моншақтары бар жарық жіп — сенің нүктең арқылы өтетін B сызығы: осы нүктеге босатылған кішкентай «сынауыш солтүстік полюс» осылай жүзер еді: ол әрқашан өріс сызығы бойымен қозғалады.
Жазықтықтағы жарқыл мен штрихтар — |B| өріс күшінің картасы: жарқыл жарық болған сайын өріс күштірек (шкала логарифмдік). Штрихтар — «темір үгінділері»: олар мектептегі тәжірибедегідей B сызықтары бойымен тізіледі.
Жасыл көрсеткі, қызғылт сары доға және бұранда — қол ережесі: бұрауыш ережесі: жасыл көрсеткі (бас бармақ) — I тогы бойымен, қызғылт сары доға (қайырылған саусақтар) B сызықтарының қалай бұралатынын көрсетеді. Жасыл бұранда ток бойымен ілгерілеп, өріс жүретін жаққа айналады.

Өткізгіш

I — ток күші 5,0

r — сымға дейінгі қашықтық

Бір басуда тәжірибе

Көрсету

B магнит өрісінің сызықтары

Сары нүкте арқылы өтетін сызықты

|B| өріс күшінің картасын

«Темір үгінділерін»

Бұрауыш және оң қол ережелері

Камераның автоайналуы

Масштаб нақты: сахнадағы тор бөлігі — 5 см, ток — 10 А-ге дейін. Түзу сым үшін формула дәл, орам мен соленоид үшін өріс Био–Савар заңымен (дәл, эллиптикалық интегралдар арқылы) есептеледі.

Үш өткізгіш — түзу сым, дөңгелек орам және соленоид — және олардың айналасындағы бір өріс. Токты өзгерт, бағытын ауыстыр, сары нүктені тышқанмен немесе саусақпен жылжыт та, компас инесінің B сызықтары бойымен бұрылғанын, ал таблодағы сандардың дәл формулалармен қайта есептелгенін қара. Қол ережесіне сенімің жоқ па? «Өзіңді тексер» немесе «Жұмбақ ток» режимін қос.

30 секундта түсіну

Ток магнит өрісін тудырады

Тогы бар кез келген сымның жанында компас инесі бұрылады — мұны 1820 жылы Эрстед байқаған. Ол үшін магнит керек емес: қозғалыстағы зарядтардың өзі магнит өрісін тудырады. Ток жоқ — өріс жоқ; ток көп — өріс күшті.

Бағыт қол ережесімен анықталады

Өріс сызықтары тұйық. Түзу сымның айналасында олар шеңбер: оң қолдың бас бармағын ток бойымен қой — қайырылған саусақтар сызықтардың қалай бұралатынын көрсетеді (бұрауыш та солай бұралады). Орамда керісінше: саусақтар орамдағы ток бойымен, ал бас бармақ ішіндегі B-ны көрсетеді. Токты өзгертсең — бәрі бұрылады.

Күштірек: жақынырақ, ток көбірек, орам көбірек

Түзу сымның жанында өріс 1/r заңымен кемиді: екі есе алыс — екі есе әлсіз. Орам өрісті центрінде жинайды, ал соленоидта орамдар өз өрістерін қосады да, ішінде таяқша магниттегідей дерлік біртекті B ≈ μ₀nI өрісі пайда болады. Соленоидтың сыртында өріс әлсіз.

Өзің байқап көр

«I ×2» батырмасын бас: ток екі есе өсті — нүктедегі өріс те дәл екі есе күшейеді (табло мен B(I) графигін қара — бұл түзу).
Түзу сымда «r ×2» батырмасын бас: екі есе алыстадың — өріс екі есе әлсіз. Ал «Жердегідей» сым жанындағы өріс бүкіл планета өрісіне (≈ 50 мкТл) тең болатын токты таңдайды: сымға жақын жерде ол небәрі бірнеше ампер.
«Ток бағытын өзгерту» батырмасын бас: барлық сызықтар, компас инесі және бұранда бұрылады. Содан кейін «Өзіңді тексер» режимін қосып, сары нүктедегі B бағытын қол ережесімен, жасырын қарамай тап.
Орамды таңда да, «Сыртта, қапталда» батырмасын бас: өріс сызықтары орамнан шығып, кері оралады, сондықтан сыртында B центрдегіге қарама-қарсы қарайды (оң жақ графикте өріс таңбасын өзгертеді).
Соленоидты таңда да, «Ортасында», «Шетінде» және «Сыртта, қапталда» нүктелерін салыстыр. Ішінде өріс дерлік бірдей, сыртында — бірнеше есе әлсіз. «N ×2» батырмасын бас — ұзындық сол күйі қалса, ішіндегі өріс екі есе өседі.
«Жұмбақ ток» режимін қос: ток күші жасырылған. Нүктеде B-ны өлшеп, формула бойынша токты тап — физик токты оның магнит өрісі арқылы осылай өлшейді.

Графиктер: B қашықтыққа және токқа қалай тәуелді

Өмірде қайда қолданылады

ЭлектромагнитТемір өзекке сым орасаң — токпен қосылып-өшетін магнит шығады: онымен қара металл сынықтарын көтереді, ток өшкенде жүк түсіп қалады.

Электр қоңырауы және релеТок катушкадан өтіп, якорьды тартады — түйіспе ажырайды, ток тоқтайды, якорь кері серпіледі... Қоңырау мен реле осылай жұмыс істейді: кішкентай ток үлкен токты қосады.

МРТ томографыАсқын өткізгіш орамы бар алып соленоид ішінде шамамен 1,5 Тл біртекті өріс тудырады — ол Жер өрісінен 30 000 есе күшті. Осы өрістегі сутегі атомдарының жауабы бойынша дене суреті салынады.

Динамик және құлаққапДинамикте тогы бар катушка магнит өрісінде ілулі тұрады. Дыбыс сигналы токты өзгертеді, катушка өрісі магнитке кезек тартылып, кезек тебіледі — мембрана тербеліп, дыбыс шығарады.

Қабырғадағы сым және ЛЭПТогы бар кез келген кабельдің айналасында, әлсіз болса да, магнит өрісі бар. Қуатты ЛЭП жанында ол Жер өрісінен айтарлықтай күшті — сондықтан онда компас ерекше әрекет етеді.

Компас және Эрстед тәжірибесіКомпас инесі — кішкентай магнит, ол B бойымен бұрылады. Оны тогы бар сымға жақындатсаң — ине солтүстікке емес, сым өрісінің сызығы бойымен бұрылады: Эрстед электр мен магнетизм байланысын осылай ашқан.

Әрі қарай оқуға

Ампер күшіТогы бар сымды басқа магнит өрісіне қойса не болады: өріс сымның өзін итереді. Лоренц күшіМагнит өрісі жеке қозғалатын бөлшектің жолын қалай қисайтады — Ампер күшінің «атомы». Магнит және катушкаКері әсер: өзгеретін магнит өрісінің өзі катушкада ток тудырады. Құйынды электр өрісіB өзгергенде сызықтары тұйық электр өрісі пайда болады — бұл өрістің «әпкесі».

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Түзу сым өрісінің индукциясы

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}, \qquad \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$$

Шексіз сым: B 1/r заңымен кемиді және ток айналасында шеңбер болып бұралады; μ₀ = 4π·10⁻⁷ Гн/м

▶ Толық түсіндірме

Тогы I бар шексіз түзу сымның айналасында индукция сызықтары — центрі сымда жатқан, сымға перпендикуляр жазықтықтардағы шеңберлер; бағытын бұрауыш ережесі анықтайды. Био–Савар заңын бүкіл сым бойымен интегралдасақ, дәл нәтиже шығады: B = μ₀I/(2πr): индукция сымға дейінгі r қашықтығына кері пропорционал — екі есе жақындасаң, өріс екі есе күшейеді. Магниттік тұрақты μ₀ = 4π·10⁻⁷ Гн/м — магниттік әрекеттесудің пропорционалдық коэффициенті, ал B токқа пропорционал: I-ді екі есе арттырсаң, өріс те екі есе күшейеді. Тексеруге мысал: I = 5 А, r = 6 см → B = 4π·10⁻⁷ · 5 / (2π · 0,06) ≈ 16,7 мкТл — бұл Жердің магнит өрісінің (≈ 50 мкТл) шамамен үштен бірі. Симуляторда тор бөлігі 5 см, сондықтан таблодағы r — нақты қашықтық.

Дөңгелек орам

$$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R}, \qquad B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}$$

Орам центрінде өріс ең күшті, осьте қашықтықпен кемиді; осьтен тыс жерде Био–Савар заңымен есептеледі

▶ Толық түсіндірме

Радиусы R, тогы I дөңгелек орам — шеңберге бүгілген сым. Центрде ток элементтерінің бәрі бір бағытта үлес қосады, ал Био–Савар заңы B₀ = μ₀I/(2R) формуласына келеді: ток бірдей болғанда орам кішкентай болған сайын өріс күшті. Центрден z қашықтықтағы остің бойында B = μ₀IR²/(2(R²+z²)^{3/2}): z = 0 кезінде центрдегі мән шығады, ал z ≫ R кезінде өріс 1/z³ заңымен кемиді — алыстағы орам кішкентай магнит (магниттік диполь) сияқты. Осьтен тыс жерде қарапайым формула жоқ: өріс толық эллиптикалық интегралдар арқылы өрнектеледі. Симулятор дәл солардың өзін есептейді, сондықтан B сызықтары мен сандар кез келген нүктеде дәл. Орамның сыртында сызықтар кері оралады, сондықтан ондағы B центрдегіге қарама-қарсы бағытталған. Мысал: R = 6 см, I = 5 А → B₀ = 4π·10⁻⁷ · 5 / (2 · 0,06) ≈ 52 мкТл.

Соленоид

$$B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 N I}{L}, \qquad n = \frac{N}{L}, \qquad B_0 = \mu_0 n I\,\frac{L}{\sqrt{L^2+4R^2}}$$

Ішінде дерлік біртекті, сыртында әлсіз — сызықтар сырттан ұштары арқылы тұйықталады

▶ Толық түсіндірме

Соленоид — ұзындығы L цилиндрге оралған N орам; ұзындық бірлігіндегі орам санын n = N/L деп алған ыңғайлы. Ұзын соленоидтың ішінде барлық орамның өрістері ось бойымен қосылады да, өріс дерлік біртекті болады: B = μ₀nI. Ол токқа және орамның тығыздығына пропорционал, бірақ орам радиусына тәуелді емес. Сыртында өріс әлсіз, ал бір ұшынан шыққан сызықтар сырттан тұйықталып, екінші ұшына кіреді — полюстері бар магнит шығады; іштегі B бағытын орамдардағы токқа қолданылған оң қол ережесі анықтайды. μ₀nI формуласы тек шексіз ұзын соленоид үшін дәл. Қысқа соленоидтың центріндегі өріс L/√(L²+4R²) есе әлсіз (L = 17,5 см және R = 4 см үшін — 9 %-ға), ал ұшында ортасындағыдан шамамен екі есе әлсіз. Симулятор барлық N орамның дәл өрістерін қосады, сондықтан бұл айырмашылықтарды адал көрсетеді.

Био–Савар заңы

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}, \qquad B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{dl\sin\alpha}{r^2}$$

Сымның әр элементі үлес қосады; бағыты dl × r векторлық көбейтіндісімен анықталады

▶ Толық түсіндірме

Био–Савар заңы — симулятордың барлық формулаларының негізі: нүктедегі индукция — тогы бар сымның барлық кішкентай dl бөліктерінің үлестерінің қосындысы. Үлес токқа, бөлік пен нүктеге бағыт арасындағы бұрыштың синусына пропорционал және қашықтықтың квадратына кері пропорционал; бағытты оң қол ережесі бойынша dl × r векторлық көбейтіндісі береді. Түзу сым үшін қосынды B = μ₀I/(2πr) формуласына, орам үшін — центр мен ось формулаларына (осьтен тыс жерде — эллиптикалық интегралдарға) айналады, ал соленоид өрісі — оның орамдары өрістерінің қосындысы. Симулятор мұның бәрін дәл есептейді және B сызықтарын ағын функциясының деңгей сызықтары ретінде салады: көрші сызықтар арасынан бірдей магнит ағыны өтеді, сондықтан сызықтар тығыз жерде өріс күштірек.

Циркуляция заңы және бұрауыш ережесі

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I, \qquad B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

Тұйық контур бойынша B циркуляциясы μ₀I-ге тең: өріс пен ток бағыттары оң қол ережесімен байланысты

▶ Толық түсіндірме

Бұрауыш ережесі — циркуляция (Ампер) заңының көрнекі түрі. Сымды қоршаған контурды айналып өтіп, B·dl қосындысын тап: μ₀I шығады, әрі айналып өту бағыты мен ток бағыты оң бұрандалы бұранданың айналуы мен жылжуындай байланысты. Бұранданы ток бойымен бұрасаң, оның тұтқасы B сызықтары бұралатын жаққа айналады. Түзу сым үшін ток жоғары болғанда бұл — сағат тіліне қарсы шеңберлер (жоғарыдан қарағанда), орам мен соленоид үшін — ішінде ось бағыты, сыртында қайтып оралу. Оң қол ережесі де солай құрылған: сымда бас бармақ ток бойымен, қайырылған саусақтар өріс сызықтары бойымен; орамда керісінше: саусақтар ток бойымен, бас бармақ B бойымен. Симулятордағы тексеру: «Өлшеулер» панелінде сым үшін B·2πr нүкте қандай қашықтықта тұрса да әрқашан μ₀I-ге тең.

Тогы бар сым — магнит өрісінің ең қарапайым көзі. Ондағы электрондар ретімен қозғалады, осы реттелген қозғалыстың өзі — ток. Түзу сымның айналасында B индукциясының сызықтары шеңбер болып тұйықталады; ұзын соленоидтың ішінде олар дерлік түзу және біркелкі тығыз орналасады, ал сыртында өріс бірнеше есе әлсіз: сызықтар бір шетінен шығып, катушканы айналып өтіп, екінші шетіне кіреді — тұрақты магнит сияқты. Магнит өрісін ұстап көруге болмайды, сондықтан симуляторда оны төрт тәсілмен бірден «көресің»: B сызықтары бойымен жүгіріп жүрген шамдар (олар өріс бағытталған жаққа жүгіреді), сызықтар бойымен тізілген «темір үгінділері», өріс күшінің жарқыраған картасы және сары нүктедегі компас инесі.

Индукцияның шамасы Био–Савар заңынан шығады: нүктедегі өріс — сымның барлық кішкентай бөліктерінің үлестерінің қосындысы. Шексіз түзу сым үшін дәл формула шығады: B = μ₀I / (2πr): өріс қашықтыққа кері пропорционал, екі есе жақындасаң — екі есе күшті. Радиусы R дөңгелек ораманың центрінде индукция B = μ₀I / (2R), ал орам осінде центрден z қашықтықта B = μ₀IR² / (2(R² + z²)³ᐟ²). Ұзындық бірлігіне n = N / L орамы бар ұзын соленоидтың ішінде өріс біртекті және B = μ₀nI-ге тең, сондықтан соленоидтың іші тұрақты магнит сияқты. Симулятор жуықтамайды: орам мен соленоид өрісін дәл (толық эллиптикалық интегралдар арқылы) есептейді, сондықтан мектеп формулаларында жоқ нәзік жайттар көрінеді: қысқа соленоидтың центрі «идеал» μ₀nI-ден әлсіз (біздің жағдайда 9 %-ға), ал орам мен катушканың сыртында сызықтар кері оралады, сондықтан B қарама-қарсы қарайды.

Бағытты бұрауыш ережесі түсіндіреді: бұранданы ток бойымен бұрасаң, оның тұтқасы B сызықтары жүретін жаққа айналады. Түзу сым үшін бұл таныс оң қол ережесі: бас бармақ ток бойымен, қайырылған саусақтар өріс шеңберлерінің қай жаққа бұралатынын көрсетеді. Орам мен соленоид үшін керісінше: саусақтар орамдағы ток бойымен, ал бас бармақ іштегі B-ны көрсетеді. «Бұрауыш және оң қол ережелері» белгісін қосып, жасыл көрсеткіні, қызғылт сары доғаны және бұранданы бақыла: ток бағыты өзгергенде бәрі өріспен бірге бұрылады.

Сары нүктені жылжыт — ондағы компас инесі B бойымен бұрылады, жарқыраған жіп сол нүкте арқылы өтетін өріс сызығын көрсетеді, ал табло мен «Өлшеулер» панелі индукцияны мкТл немесе мТл префиксімен қайта есептеп, Жердің магнит өрісімен салыстырады. Сахна астындағы шкала сенің өрісің тоңазытқыш магниті мен МРТ томографының қасында қайда тұрғанын көрсетеді. «Өзіңді тексер» режимі сызықтар мен инені жасырып, B бағытын сұрайды — соның ішінде катушка сыртындағы нүктеде «қулығы бар» сұрақ та бар. «Жұмбақ ток» режимі ток күшін жасырады: B-ны өлше де, I-ды формула бойынша тап — физик токты оның магнит өрісі арқылы осылай өлшейді.