Конденсатор өрісіндегі зарядтың қозғалысы: неге парабола шығады

Конденсатордың екі пластинасы арасында біртекті электр өрісі бар. Ол зарядталған бөлшекті үнемі бір жаққа итереді, ал пластина бойымен оған ештеңе кедергі жасамайды — лақтырылған доп сияқты парабола шығады. Кернеуді, жылдамдықты және бөлшектің өзін өзгертіп, бақыла: ол ұшып шыға ма, қандай бұрышпен, әлде пластинаға соғыла ма. «Осциллограф» және «Тамшы ілініп тұр» тәжірибелері, «Өзіңді тексер» режимі және нағыз Милликен тәжірибесі бар.

t бөлшек қазір қайда (шарлау)

→ v — бөлшектің жылдамдығы → F — өрістің әсер ететін күші → E — өріс («+»-тан «−»-қа) → mg — ауырлық күші пластиналар: қызыл «+», көк «−» із (көк → қызғылт сары: баяу → жылдам) ● тең уақыт аралықтарындағы белгілер

30 секундта түсіну

Өріс зарядты итереді

Пластиналар арасындағы өріс біртекті: әр нүктеде бірдей. Зарядқа F = qE күші әсер етеді, демек a = F/m үдеуі пайда болады. Заряд таңбасы бағытты таңдайды: «+» өріс бойымен, «−» өріске қарсы жүреді; масса бөлшекті қозғау қаншалықты оңай екенін анықтайды.

Екі қозғалыс — бір-біріне тәуелсіз

Пластина бойымен ештеңе итермейді: бөлшек тұрақты vₓ жылдамдықпен ұшады. Көлденеңінен тұрақты күш әсер етеді: v_y үстелден көлденең лақтырылған доп сияқты өседі. Стробоскопты қос: тең уақыт сайын нүктелер оңға тең қашықтықта, ал жоғары (немесе төмен) — барған сайын алыс (1 : 3 : 5 : 7…) орналасады.

Парабола және энергия

Екі қозғалысты қосқанда парабола шығады. Өріс A = qΔU жұмыс істейді, кинетикалық энергия дәл сонша артады. Ауытқу Δy = qUl²/(2mdv₀²): U мен l өскенде артады, масса мен жылдамдық өскенде кемиді — ауыр және жылдам бөлшектер өрісті дерлік байқамайды.

Өзің байқап көр

«Полярлықты ауыстыру» батырмасын бас: күш бұрылады, траектория айна тәрізді өзгереді.
«Протон» таңда. Заряды сондай, ал массасы 1836 есе үлкен — парабола дерлік түзуге айналады.
v₀ жылдамдығын азайт: ауытқу 1/v₀² заңымен өседі. Бөлшек пластинаға соғылатын жылдамдықты тап.
«Экран» мен «Шоқты» қос — бұл осциллограф: U-ды өзгертсең, жарқыраған дақ экранда жүгіреді.
«Тамшы ілініп тұр» тәжірибесі: ауырлық күшін қосып, qE = mg болатындай U таңда.

Өмірде қайда кездеседі

Осциллограф пен ескі теледидардың кинескопы: электрон шоғын екі жұп пластина бұрады — сурет осылай салынады.
Струйлық принтер: сия тамшыларын зарядтап, өріспен бұрады — олар қағаздың керекті нүктесіне түседі.
Зауыт құбырларындағы электрсүзгілер және электростатикалық бояу: зарядталған бөлшектер өріс бойымен пластинаға ұшады.
Милликен тәжірибесі: тамшының өрістегі тепе-теңдігі бойынша электрон заряды e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл өлшенді — тамшы заряды әрқашан e-ге еселі.

Графиктер: сол нәрсе сандармен

Қисықтар дәл формулалармен салынған. Ашық бөлік — болып өткені, күңгірті — болатыны; сары үзік сызық — «қазір», ақ сызық — ұшып шығу немесе тию сәті.

Пластина бойымен: тең уақытта — тең жол. x(t) — түзу

Көлденеңінен: тең уақыттағы жол өседі. y(t) — парабола

Жылдамдықтар: vₓ өзгермейді, v_y түзу бойымен өседі

Энергия: Eк Eп есебінен артады, ал қосындысы өзгермейді

Режим

Жылдам тәжірибелер

Бөлшек

q заряд таңбасы −

U кернеу (пластиналар қаншалықты зарядталған)

d пластиналар арасындағы саңылау

l пластина ұзындығы

v₀ кіру жылдамдығы

α кіру бұрышы 0°

y₀/d кіру биіктігі (саңылау үлесі) 0.50

Көрсету жылдамдығы

Физика

Тыныштықтан бастау (v₀ = 0)

Ауырлық күшін ескеру

Көрсету

стробоскоп (тең уақыт аралықтары)

пластиналар арасындағы потенциал және өріс

экран (осциллографтағыдай)

шоқ (бірінен соң бірі көп бөлшек)

«ортасынан ұшып шыққандай» кеңесі

Параметрлердің кез келген өзгерісі тәжірибені қайта бастайды. Қозғалыс дәл формулалармен есептеледі, сондықтан сандар кадр жиілігіне де, «көрсету жылдамдығына» да байланысты емес. Пластина ұштарындағы жиектік әсерлер ескерілмейді.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Пластиналар бойынша және керісінше қозғалыс

$$x = v_{0x}\,t, \qquad y = v_{0y}\,t + \frac{a t^2}{2}, \qquad a = \frac{qE}{m} = \frac{qU}{m d}$$

Пластиналар бойынша күш жоқ — біркелкі қозғалыс; керісінше F = qE күшінен тұрақты үдеу әсер етеді

▶ Толық түсіндірме

Тұрақты өріс E = U/d пластиналарға перпендикуляр бағытталғандықтан, үдеу a = qE/m = qU/(m·d) пластиналар бойынша бағытталады және уақыт бойынша тұрақты. Пластиналар бойынша күш жоқ, жылдамдықтың жақ (l бойынша) құрамы өзгермейді: x = v₀ₓ·t. Пластиналар бойынша бөлшек біркелкі үдейді, координата парабола заңы бойынша өседі y = v₀ᵧ·t + a·t²/2, ал жылдамдық vᵧ = v₀ᵧ + a·t сызықты өзгереді. Сондықтан y(t) графигі — парабола, ал vᵧ(t) графигі — еңісі a түзу сызық.

Үдеу массаға кері пропорционал: бір өрісте электрон протоннан мыңдаған есе күштірек ығысады, ал ауыр ион немесе тамшы байқалмадай ауытқиды.

Ұшу уақыты және шығардағы ауытқу

$$t = \frac{l}{v_{0x}}, \qquad \Delta y = \frac{q\,U\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_{0}^{2}}$$

Пластиналар бойымен кіргенде (v₀ᵧ = 0): бөлшек ұзындық l-ді біркелкі өтіп, Δy-ге ауытқиды

▶ Толық түсіндірме

Өрісте болу уақытын тек көлденең құрам анықтайды: t = l/v₀ₓ. Осы уақытта тік жылдамдық vᵧ = a·t-ге жетеді, ал ауытқу Δy = a·t²/2 = q·U·l²/(2·m·d·v₀²) болады. Осыдан негізгі практикалық ереже: ауытқу пластиналар ұзындығының шаршысымен және кернеумен өседі, ал d едені үлкейгенде және кіру жылдамдығының шаршысымен азаяды.

Егер есептелген Δy жақын пластинаға дейінгі қашықтықтан (ортаңғыдан кіргенде d/2) асып кетсе, бөлшек шыға алмайды — ол пластинаға тиеді. Симулятор екі уақытты — ұшу мен соққы уақытын — салыстырып, алдымен болатын оқиғаны есептейді.

Конденсатордан шығу бұрышы

$$\operatorname{tg}\varphi = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{q\,U\,l}{m\,d\,v_{0}^{2}}$$

φ — шығардағы жылдамдық векторы мен пластиналар бағытының арасындағы бұрыш

▶ Толық түсіндірме

Шығарда жылдамдық векторы өзгермеген vₓ = v₀ және жиналған vᵧ = a·t құрамаларынан құралады, сондықтан tg φ = vᵧ/vₓ = q·U·l/(m·d·v₀²). Бұрыш кернеу мен пластина ұзындығымен өседі, ал жылдамдық шаршысымен кемиді — тым жылдам бөлшектің жолы дерлік түзу, ал баяу бөлшек 90°-қа дейін бұрыла алады.

Шығу нүктесі дәл солай есептеледі: y = y₀ + Δy. Ол еденнен шығып кетсе, бөлшек пластинаға тиеді, ал онда шығу бұрышы анықталмайды — қозғалыс соққы нүктесінде тоқтайды.

Осциллограф экранындағы дақтың жылжуы

$$Y = \left(L + \frac{l}{2}\right)\operatorname{tg}\varphi = \left(L + \frac{l}{2}\right)\frac{q\,U\,l}{m\,d\,v_{0}^{2}}$$

Дақтың жылжуы U кернеуге пропорционал: U неғұрлым үлкен болса, дақ экран ортасынан соғұрлым алыс

▶ Толық түсіндірме

Конденсатордан шыққаннан кейін бөлшек φ бұрышпен түзу бойымен ұшады. Бұл түзуді кері созсақ, ол пластиналардың ортасынан (x = l/2) өтеді. Сондықтан пластина ұшынан L қашықтықтағы экранда жылжу Y = (L + l/2)·tg φ. tg φ = qUl/(mdv₀²) қойсақ, Y шамасы U-ға пропорционал екенін көреміз — осциллографтың принципі осыған негізделген: кернеу жарқыраған дақтың жылжуына айналады.

Симуляторда «Осциллограф» батырмасын бас: экран мен шоқ қосылады. U-ды өзгертіп, дақтың экранда қалай жүгіретінін қара.

Өріс жұмысы және кинетикалық энергия

$$A = qE\,\Delta y = q\,U_y = \Delta E_k, \qquad v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

Тұрақты өрістің жұмысы кинетикалық энергия өзгерісіне тең; екінші формула — толық кернеуге дейін тыныштықтан үдеу

▶ Толық түсіндірме

F = qE күші тұрақты, сондықтан жұмыс A = F·Δy = q·E·Δy тек өріс бойынша жылжуға байланысты және q·U_y-ге тең, мұнда U_y — кіру мен шығу нүктелері арасындағы потенциал түсуі. Жұмыс-энергия теоремасы бойынша бұл жұмыс кинетикалық энергия өсімдігіне тең: ΔEк = A = q·E·Δy. Eк(t) графигінде сызық өрістегі уақыттың шаршысымен өседі — бұл y(t) дегі дәл сол параболалық заң.

Тыныштықтан үдеу — жеке жағдай: оң пластина жанынан бастаған бөлшек барлық U потенциал түсуін өтіп, ½·m·v² = q·U энергиясын алады, яғни v = √(2qU/m). Солай электрондарды кинескоптар мен электрондық мылтықтарда ығыстырады. Ауырлық күшін қосқанда полярлықты qE = mg болатындай етіп таңдауға болады: нәтижелік күш нөлге тең болады және бөлшек түзу қозғалады — элементарлық зарядты өлшеуге арналған Милликен тәжірибесі осыған негізделген.

Тамшының тепе-теңдігі: Милликен тәжірибесі

$$q\,E = m g \;\Rightarrow\; q = \frac{m\,g\,d}{U}, \qquad q = n\,e$$

Өріс күші ауырлық күшін теңгергенде тамшы ілініп тұрады; ілінудегі кернеу бойынша оның заряды табылады, ол әрқашан e-ге еселі

▶ Толық түсіндірме

Өріс күші жоғары бағытталып, ауырлық күшіне тең болса, тең әсерлі күш нөлге тең, ал тыныштықтан басталған тамшы орнында қалады. qE = mg шартынан E = U/d қойсақ, q = mgd/U шығады. Милликен тамшылардың массасын және ілінудегі кернеуді өлшеп, зарядтардың әрқашан n·e бүтін еселігі болып шығатынын анықтады, мұнда e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Осылайша электр зарядының дискретті екені дәлелденді.

«Милликен тәжірибесі» режимінде тамшыда n саны жасырылған: тамшы ілініп тұратындай U таңда, «Зарядты табу» батырмасын бас — симулятор сенің U-ың бойынша q мен n-ді өзі есептейді.

Жазық конденсатор — екі параллель металл пластина. Оларға U кернеу қосса, бір пластина «+», екіншісі «−» зарядталады, ал арасында біртекті электр өрісі E = U/d пайда болады, мұндағы d — пластиналар арасындағы қашықтық. «Біртекті» — пластиналар арасындағы әр нүктеде өріс бірдей: шамасы да, бағыты да бірдей, «+»-тан «−»-қа қарай. Симуляторда оны күлгін көрсеткілер бейнелейді, ал сол жақтағы шкала φ потенциалын көрсетеді: ол «+» пластинада U-дан «−» пластинада 0-ге дейін бірқалыпты өзгереді.

Мұндай өрістегі зарядталған бөлшекке тұрақты F = qE күші әсер етеді. Оң зарядты өріс бойымен, теріс зарядты өріске қарсы итереді. Ньютонның екінші заңы бойынша a = F/m = qU/(m·d) үдеуі пластиналар арасындағы әр нүктеде бірдей. Сондықтан жеңіл электрон дәл сондай зарядты протоннан 1836 есе қатты үдейді, ал ауыр тамшы өрісті дерлік сезбейді.

Қозғалысты екі тәуелсіз қозғалысқа жіктейік. Пластина бойымен күш жоқ, сондықтан vₓ жылдамдығы өзгермейді, ал x = x₀ + v₀ₓ·t — бірқалыпты қозғалыс. Көлденеңінен тұрақты күш әсер етеді, сондықтан y = y₀ + v₀ᵧ·t + a·t²/2, ал vᵧ = v₀ᵧ + a·t түзу бойымен өседі. Бұл үстелден көлденең лақтырылған допқа дәл ұқсас, тек ауырлық күші орнына өріс күші тұр. Екі қозғалысты қоссақ — парабола шығады. «Стробоскопты» қос: тең уақыт аралықтарында нүктелер оңға тең қашықтыққа, ал жоғары (немесе төмен) барған сайын көбірек — 1 : 3 : 5 : 7 сияқты — жылжиды.

Конденсатор арқылы ұшу уақыты t = l/vₓ. Пластина бойымен кірген жағдайда шығудағы ауытқу Δy = qUl²/(2mdv₀²), ал шығу бұрышы tg φ = vᵧ/vₓ = qUl/(mdv₀²). Бөлшек неғұрлым жылдам болса, соғұрлым аз ауытқиды; неғұрлым ауыр болса — да солай. Есептелген Δy ең жақын пластинаға дейінгі қашықтықтан (ортасынан кіргенде d/2) артық болса, бөлшек шыға алмай, пластинаға соғылады. Симулятор шығу немесе тию сәтін теңдеуді шешіп табады, «сызықты бірінші кесіп өткен кадрмен» емес, сондықтан сандар дәл.

Тамаша факт: шығардағы жылдамдықтың кері жалғасы пластиналардың ортасынан (x = l/2) өтеді. «Ортасынан ұшып шыққандай» кеңесін қосып, тексеріп көр. Сондықтан пластина ұшынан L қашықтықтағы экранда дақ Y = (L + l/2)·tg φ шамасына жылжиды — осциллографтың және ескі кинескоптың ауытқытқыш жүйесі осылай жұмыс істейді: U кернеуін өзгертсең, дақ экранда жүгіреді.

Энергия. Өріс A = qEΔy = qΔU жұмыс істейді, кинетикалық энергия дәл сонша артады: ΔEк = A. Бөлшектер үшін ыңғайлы бірлік — электронвольт: 1 эВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж — электрон 1 В потенциалдар айырмасынан өткенде алатын энергия. Тыныштықтан бүкіл U кернеу арқылы бөлшек v = √(2|q|U/m) жылдамдыққа дейін үдейді — электрон зеңбірегі осылай жұмыс істейді. Энергия графигінде Eк өседі, Eп кемиді, ал олардың қосындысы — көлденең сызық: энергия сақталады.

Ауырлық күші. Электрон үшін ол өріс күшінен 10¹⁴ есе әлсіз — оны жай ғана тастайды. Ал микроскопиялық май тамшысы үшін күштер шамалас, сондықтан qE = mg болатындай кернеуді таңдауға болады: тамшы ілініп тұрады, мұнда q = mgd/U. 1909 жылы Милликен тамшылардың зарядын дәл осылай өлшеп, олардың әрқашан бір санға еселі екенін көрді — бұл электрон заряды e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл. «Милликен тәжірибесі» режимін қос: тамшыда белгісіз санда артық электрон жасырылған — тамшы ілініп тұратындай U таңда да, сол санды тап.

Қалай пайдалану: «Іске қосу» батырмасын бас та, сахнаны бақыла — оң жақ жоғарыдағы табло нақты уақыт пен жылдамдықтарды көрсетеді (ұшу наносекундтарға созылады, экранда ол созылған). «Жылдам тәжірибелер» батырмалары қызықты параметрлерді өзі қояды. «Өзіңді тексер» режимінде траектория мен сандар жасырылған: алдымен бөлшек қай жаққа ауытқитынын және шыға алатынын болжа, содан кейін жауабын қара.