Графики равноускоренного движения: x(t), v(t), a(t)

Задай начальную координату x₀, начальную скорость v₀ и ускорение a — тележка поедет, а под ней синхронно начнут строиться три графика: координаты, скорости и ускорения. Курсор времени связывает их: в каждый момент видно, где тележка, как быстро она едет и куда направлено ускорение. Площадь под графиком скорости на глазах превращается в перемещение на графике x(t), а наклон касательной к параболе x(t) равен скорости. Выбери сценарий «Разворот» — и увидишь, почему путь и перемещение не одно и то же. После опыта веди мышью или пальцем по графикам и возвращайся в любой момент движения.

x— координата v— проекция скорости a— проекция ускорения площадь при v > 0 — путь вперёд площадь при v < 0 — путь назад

Площадь под v(t) с учётом знака равна перемещению Δx (стрелка на графике x(t)), площадь под a(t) — изменению скорости Δv. Наклон белой касательной к x(t) равен скорости. Зелёная и красная дорожки под тележкой — путь вперёд и назад, их длины равны площадям того же цвета.

x₀ начальная координата 0 м

v₀ начальная скорость (проекция) 0.0 м/с

a ускорение (проекция) +2.0 м/с²

T время опыта 5.0 с

Тормоза: при v = 0 тело останавливается (a → 0), а не едет назад

Скорость показа

Площади под графиками v(t) и a(t)

Наклон: касательная к x(t) и треугольник на v(t)

Стробоскоп (метки через равные Δt)

Сравнить с равномерным (v = v₀)

Прогноз графиков (пунктир)

Движение считается точными формулами x = x₀ + v₀t + at²/2 и v = v₀ + at, поэтому числа на экране совпадают с ответами задач, а скорость показа на них не влияет. Ползунки меняют условия и возвращают опыт к началу.

t — время

x — координата

v_x — скорость

a_x — ускорение

Δx — перемещение

s — путь

Δx / t — средняя скорость (с учётом знака)

s / t — средняя путевая скорость

Реши задачу, введи ответ и нажми «Проверить» — симулятор сразу проиграет этот опыт.

Мысль о том, что пройденный путь равен площади под графиком скорости, появилась почти за 300 лет до системы координат Декарта. В 1330-х годах учёные Мертон-колледжа в Оксфорде (Уильям Хейтсбери, Ричард Суайнсхед) сформулировали «правило средней скорости»: тело, равномерно разгоняющееся из покоя, проходит такой же путь, как тело, которое всё это время движется со средней скоростью. Около 1350 года французский учёный Николай Орем доказал это правило рисунком: по горизонтали он откладывал время, по вертикали — скорость и заметил, что путь — это площадь получившегося треугольника, а она равна площади прямоугольника вдвое меньшей высоты. Это один из первых графиков в истории науки. В 1638 году Галилей в «Беседах и математических доказательствах» повторил рассуждение Орема и вывел из него закон: при движении из покоя пути за последовательные равные промежутки времени относятся как 1 : 3 : 5 : 7. Выбери сценарий «Разгон с места», включи стробоскоп — и проверь Галилея сам.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Уравнение координаты

$$x(t) = x_0 + v_{0x}\,t + \frac{a_x t^2}{2}$$

x₀ — начальная координата, v₀ₓ — проекция начальной скорости, aₓ — проекция ускорения (постоянная), t — время от начала движения. График x(t) — парабола

▶ Подробное объяснение

Формула даёт координату тела в любой момент времени, если известны три числа: где тело было в начале (x₀), с какой скоростью стартовало (v₀ₓ) и с каким ускорением движется (aₓ). Все три берутся со знаком: проекция положительна, если вектор направлен по оси x, и отрицательна, если против.

Пример (сценарий «Разворот»): x₀ = −4 м, v₀ = 6 м/с, a = −2 м/с². Через 3 с: x = −4 + 6·3 + (−2)·3²/2 = −4 + 18 − 9 = 5 м. Через 7 с: x = −4 + 42 − 49 = −11 м — тележка уехала за точку старта в обратную сторону. При a = 0 формула превращается в уравнение равномерного движения x = x₀ + vt, и график становится прямой.

Скорость и ускорение

$$v_x(t) = v_{0x} + a_x t, \qquad a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t} = \mathrm{const}$$

Скорость меняется линейно: график v(t) — прямая, её наклон равен ускорению aₓ. График a(t) — горизонтальная прямая

▶ Подробное объяснение

Ускорение показывает, на сколько изменяется скорость за каждую секунду. При a = 2 м/с² скорость каждую секунду растёт на 2 м/с, поэтому график v(t) — прямая с наклоном 2 (м/с)/с. В симуляторе это видно по жёлтому треугольнику: за 1 с по горизонтали график поднимается или опускается ровно на a.

Если знаки v и a совпадают, модуль скорости растёт (разгон), если противоположны — уменьшается (торможение). Когда при торможении скорость доходит до нуля, а ускорение не исчезает, проекция скорости меняет знак — тело разворачивается. График v(t) при этом спокойно пересекает ось времени, а график a(t) не меняется.

Перемещение — площадь под графиком скорости

$$\Delta x = x - x_0 = \frac{v_{0x} + v_x}{2}\,t, \qquad \Delta x = S_+ - S_-, \qquad s = S_+ + S_-$$

S₊ — площадь под графиком v(t) там, где v > 0; S₋ — где v < 0. Перемещение учитывает знак, путь s — нет

▶ Подробное объяснение

При равномерном движении перемещение vt — это площадь прямоугольника под графиком скорости. То же верно для любого движения: площадь под v(t) равна перемещению. Для равноускоренного движения фигура — трапеция с основаниями v₀ и v и высотой t, отсюда Δx = (v₀ + v)/2 · t. Значит, средняя скорость при a = const равна полусумме начальной и конечной.

Если тело разворачивается, часть графика уходит под ось времени. Эта площадь — перемещение назад, её берут со знаком «минус». Пример: v₀ = 6 м/с, a = −2 м/с², t = 7 с. До разворота (3 с) S₊ = 6·3/2 = 9 м, после (4 с, скорость от 0 до −8 м/с) S₋ = 8·4/2 = 16 м. Перемещение Δx = 9 − 16 = −7 м, путь s = 25 м. Проверка формулой: Δx = (6 + (−8))/2 · 7 = −7 м.

Формула без времени

$$v_x^2 - v_{0x}^2 = 2a_x\,\Delta x$$

Связывает скорости и перемещение, когда время не известно и не нужно. Тормозной путь до остановки: s = v₀²/(2|a|)

▶ Подробное объяснение

Формула получается, если из уравнений v = v₀ + at и Δx = (v₀ + v)/2 · t исключить время: t = (v − v₀)/a, тогда Δx = (v + v₀)(v − v₀)/(2a) = (v² − v₀²)/(2a).

Главное применение — тормозной путь. Машина со скоростью 10 м/с тормозит с ускорением 2,5 м/с²: до остановки (v = 0) она проедет s = 10²/(2·2,5) = 20 м. Это видно в сценарии «Торможение автомобиля». Важно: тормозной путь растёт как квадрат скорости — при скорости вдвое больше он увеличивается вчетверо. Поэтому превышение скорости так опасно. В панели «Измерения» симулятор проверяет эту формулу в каждый момент движения.

Момент разворота и вершина параболы

$$t^{*} = -\frac{v_{0x}}{a_x}, \qquad x^{*} = x_0 - \frac{v_{0x}^2}{2a_x}$$

Если v₀ и a направлены противоположно, в момент t* скорость равна нулю, а координата x* — наибольшая или наименьшая. Касательная к x(t) в этой точке горизонтальна

▶ Подробное объяснение

Момент разворота находится из условия v = 0: v₀ + at* = 0, откуда t* = −v₀/a. Подставив t* в уравнение координаты, получаем вершину параболы x* = x₀ − v₀²/(2a). Для сценария «Разворот»: t* = −6/(−2) = 3 с, x* = −4 − 36/(2·(−2)) = −4 + 9 = 5 м.

Самая частая ошибка — думать, что в момент разворота тело «стоит» и ускорение равно нулю. Нет: скорость равна нулю лишь одно мгновение, а ускорение всё время одно и то же, поэтому тело сразу же начинает двигаться назад. Так ведёт себя мяч, подброшенный вверх: в верхней точке v = 0, но a = g. По-другому ведёт себя машина: после остановки тормоза удерживают её силой трения покоя, ускорение становится нулевым, и машина не едет назад — включи «Тормоза», чтобы увидеть разницу на графике a(t).

Правило нечётных чисел Галилея

$$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : \ldots = 1 : 3 : 5 : 7 : \ldots \;(v_0 = 0), \qquad \Delta x_{n+1} - \Delta x_n = a\,\Delta t^2$$

sₙ — путь за n-й из равных промежутков времени Δt при старте из покоя. Для любого равноускоренного движения перемещения за соседние промежутки отличаются на aΔt²

▶ Подробное объяснение

При старте из покоя путь за время t равен at²/2, то есть растёт как квадрат времени: за 1, 2, 3, 4 промежутка — 1, 4, 9, 16 «единиц». Значит, за каждый следующий промежуток добавляется 1, 3, 5, 7 единиц — нечётные числа. Галилей открыл это правило, скатывая шары по наклонному жёлобу, и считал его главным признаком равноускоренного движения.

Более общее правило верно при любой начальной скорости: перемещения за соседние равные промежутки Δt отличаются ровно на aΔt². В сценарии «Разворот» (a = −2 м/с², Δt = 1 с) стробоскоп даёт перемещения +5, +3, +1, −1, −3 м: каждое на 2 м меньше предыдущего. Именно так по стробоскопическим фотографиям в лаборатории определяют ускорение: a = (Δx₂ − Δx₁)/Δt².

Что такое равноускоренное движение. Движение называют равноускоренным, если скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Ускорение a = (v − v₀)/t при этом постоянно. Так движутся тело, брошенное вверх или падающее без сопротивления воздуха, автомобиль при плавном разгоне, шайба, скользящая по льду до остановки. В задачах все величины берут в проекциях на ось x: если вектор направлен против оси, его проекция отрицательна. Поэтому vₓ и aₓ в симуляторе бывают со знаком «минус».

Три графика — одно движение. График ускорения a(t) — горизонтальная прямая. График скорости v(t) = v₀ + at — наклонная прямая, и её наклон равен ускорению: за каждую секунду скорость меняется на a (жёлтый треугольник на графике). График координаты x(t) = x₀ + v₀t + at²/2 — парабола: при a > 0 её ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Наклон касательной к параболе в любой точке равен скорости в этот момент (белая линия). Там, где v = 0, касательная горизонтальна — это вершина параболы и момент разворота t* = −v₀/a.

Площадь под графиком скорости — перемещение. Перемещение Δx = x − x₀ равно площади фигуры под графиком v(t). Для равноускоренного движения это трапеция: Δx = (v₀ + v)/2 · t. Площадь над осью времени (v > 0, зелёная) берётся со знаком «плюс», под осью (v < 0, красная) — со знаком «минус». Путь — это сумма площадей без учёта знака. В сценарии «Разворот» (x₀ = −4 м, v₀ = 6 м/с, a = −2 м/с²) тележка 3 с едет вперёд и проходит S₊ = 9 м, а следующие 4 с едет назад и проходит S₋ = 16 м. Перемещение Δx = 9 − 16 = −7 м, а путь s = 9 + 16 = 25 м. Точно так же площадь под графиком a(t) равна изменению скорости Δv.

Попробуй сам. 1) Сценарий «Разгон с места» (a = 2 м/с²): стробоскоп отмечает тележку каждую секунду, и отрезки пути равны 1, 3, 5, 7, 9 м — правило нечётных чисел. 2) «Торможение автомобиля»: при v₀ = 10 м/с и a = −2,5 м/с² машина останавливается через 4 с, пройдя v₀²/(2|a|) = 20 м, и дальше стоит — тормоза держат её силой трения покоя. Сними галочку «Тормоза» — и тележка поедет назад: так движется камень, брошенный вверх. 3) Включи «Сравнить с равномерным»: фиолетовая тележка едет с постоянной скоростью v₀, и разрыв между ними растёт ровно как at²/2.

Типичные ошибки. Считать, что в момент разворота ускорение тоже равно нулю: на самом деле v = 0, а a остаётся прежним, поэтому тело тут же начинает двигаться обратно. Путать путь и перемещение, когда тело разворачивается. Принимать график x(t) за траекторию: тележка едет по прямой, а парабола — это зависимость координаты от времени. Выполни задания во вкладке «Проверь себя» — после ответа симулятор сразу покажет этот опыт.