Машина Атвуда и связанные тела

Два груза связаны нитью через блок. Тяжёлый опускается, лёгкий поднимается, но гораздо медленнее, чем при свободном падении: шар рядом с установкой падает с той же высоты и обгоняет груз в несколько раз. Посмотри, какие силы действуют на каждое тело и почему натяжение нити не равно весу ни одного из грузов. Вспышки стробоскопа размечают путь отрезками 1 : 3 : 5 : 7. Положи брусок на стол, добавь трение, утяжели блок или перенеси опыт на Луну и Юпитер, а во вкладке «Проверь себя» сначала посчитай ускорение, а потом проверь его опытом.

↓mg— сила тяжести ↑T— сила натяжения нити →a— ускорение →v— скорость ●шар падает свободно с той же высоты — для сравнения

Все силы нарисованы в одном масштабе, поэтому их длины можно сравнивать: у опускающегося груза T < mg, у поднимающегося T > mg. Нить нерастяжима и невесома, поэтому оба тела движутся с одинаковым по модулю ускорением. Полупрозрачные копии — вспышки стробоскопа через равные промежутки времени, жёлтые числа — во сколько раз путь между вспышками больше первого.

Установка

Где проводим опыт

m₁ масса левого груза 1.0 кг

m₂ масса правого (висящего) груза 1.4 кг

μ коэффициент трения бруска о стол 0.20

M масса блока (0 — невесомый) 0.0 кг

v₀ начальный толчок (+ — m₂ вниз) 0.00 м/с

Скорость показа

Векторы сил, ускорения и скорости

Стробоскоп: вспышки через равные Δt

Свободное падение для сравнения

Систему разгоняет разность сил тяжести грузов, а разгонять ей приходится обе массы сразу, поэтому a = (m₂ − m₁)g / (m₁ + m₂) всегда меньше g. Сделай массы равными и дай толчок v₀ — грузы поедут равномерно, хотя на каждый действуют силы. Перенеси опыт на Луну или Юпитер, утяжели блок, а на столе подбери μ так, чтобы брусок не сдвинулся.

a — ускорение

a / g

T₁ на груз m₁

T₂ на груз m₂

Разгоняющая сила: (m₂ − m₁)g у Атвуда, m₂g на столе

Реши задачу, введи ответ — и установка сама проведёт опыт с этими массами.

Графики движения

Скорость груза растёт линейно — наклон прямой v(t) и есть ускорение a. Путь растёт по параболе s = at²/2. Серый пунктир — то же для свободного падения: наклон g намного круче. Третий график показывает, как ускорение зависит от массы m₂: при m₂ = m₁ оно равно нулю, а при m₂ ≫ m₁ стремится к g, но никогда его не превышает.

Машину придумал английский физик и математик Джордж Атвуд, преподаватель Кембриджа. В 1784 году он описал её в «Трактате о прямолинейном движении и вращении тел». Падение тела слишком быстрое, чтобы точно измерить его часами XVIII века: за первую секунду тело пролетает почти 5 метров. Галилей когда-то замедлял падение, скатывая шары по наклонному жёлобу, а Атвуд придумал другой способ: повесить на лёгкий блок два почти одинаковых груза. Разгоняет систему только разность их сил тяжести, а инертны обе массы сразу, поэтому ускорение можно сделать во много раз меньше g. Движение остаётся равноускоренным и растягивается во времени, и его удобно измерять маятником и линейкой. На машине Атвуда проверяли законы равноускоренного движения и второй закон Ньютона, а в школьных кабинетах физики её используют до сих пор.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Второй закон Ньютона для каждого тела системы

$$m\vec{a} = \sum \vec{F}$$

m — масса тела, a — его ускорение, ΣF — векторная сумма всех сил, действующих на это тело. Для связанных тел закон записывают отдельно для каждого тела

▶ Подробное объяснение

Для машины Атвуда (m₂ > m₁) проекции на направление движения каждого груза дают систему: m₁a = T₁ − m₁g и m₂a = m₂g − T₂. Нить нерастяжима, поэтому ускорения грузов равны по модулю. Нить невесома, и блок невесом, поэтому T₁ = T₂ = T.

Внутренние силы системы (натяжение нити) при сложении уравнений сокращаются, и остаётся уравнение для системы в целом: (m₁ + m₂)a = (m₂ − m₁)g. Ускорение системы определяется только внешними силами.

Ускорение грузов машины Атвуда

$$a = \frac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$$

m₁, m₂ — массы грузов, кг; g — ускорение свободного падения, м/с². Числитель — разгоняющая сила, знаменатель — вся разгоняемая масса, поэтому всегда a < g

▶ Подробное объяснение

Пример: m₁ = 1,0 кг, m₂ = 1,4 кг. Тогда a = (1,4 − 1,0)·9,81 / 2,4 ≈ 1,64 м/с², что примерно в 6 раз меньше g. С высоты 1 м такой груз опускается за t = √(2h/a) ≈ 1,1 с, а свободно падающее тело — за 0,45 с.

Если учитывать массу блока M (однородный диск), к знаменателю добавляется M/2: a = (m₂ − m₁)g / (m₁ + m₂ + M/2). При m₁ = m₂ ускорение равно нулю — грузы покоятся или движутся равномерно.

Сила натяжения нити

$$T = \frac{2\,m_1 m_2\, g}{m_1 + m_2}$$

T — сила натяжения нити, Н (блок и нить невесомые). Её значение всегда лежит между весами грузов: m₁g < T < m₂g

▶ Подробное объяснение

Формула получается подстановкой ускорения в уравнение для любого груза: T = m₁(g + a) = m₂(g − a). При m₁ = 1,0 кг и m₂ = 1,4 кг: T = 2·1,0·1,4·9,81 / 2,4 ≈ 11,4 Н. Вес лёгкого груза 9,81 Н, тяжёлого 13,7 Н.

Частая ошибка — считать, что нить тянет с силой m₂g. Если бы это было так, тяжёлый груз висел бы неподвижно. Он опускается с ускорением именно потому, что T < m₂g.

Брусок на столе и висящий груз

$$a = \frac{(m_2 - \mu m_1)\,g}{m_1 + m_2}$$

m₁ — масса бруска на столе, m₂ — масса висящего груза, μ — коэффициент трения скольжения. Формула верна, пока m₂ > μm₁, иначе брусок покоится

▶ Подробное объяснение

Для бруска: m₁a = T − μm₁g (по горизонтали) и N = m₁g (по вертикали). Для груза: m₂a = m₂g − T. Складываем и получаем формулу. Натяжение нити T = m₁m₂g(1 + μ) / (m₁ + m₂).

Если m₂g ≤ μm₁g, система покоится. Сила трения покоя тогда равна m₂g, то есть ровно столько, сколько нужно для равновесия. Без трения (μ = 0) получается a = m₂g / (m₁ + m₂).

Путь при равноускоренном движении из покоя

$$s = \frac{a t^2}{2}, \qquad s_1 : s_2 : s_3 : s_4 = 1 : 3 : 5 : 7$$

s — путь за время t от начала движения из покоя; s₁, s₂, s₃ … — пути за последовательные равные промежутки времени Δt (правило нечётных чисел Галилея)

▶ Подробное объяснение

За первые Δt тело проходит a(Δt)²/2, за первые 2Δt — 4·a(Δt)²/2, за 3Δt — 9·a(Δt)²/2. Отрезок за каждый следующий промежуток — разность соседних квадратов: 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16 − 9 = 7. Отношение не зависит ни от a, ни от Δt.

Стробоскоп в симуляторе вспыхивает через равные Δt и подписывает отношения отрезков. Если дать грузам начальную скорость v₀, к каждому отрезку добавится v₀Δt, и отношение 1 : 3 : 5 : 7 нарушится.

Второй закон Ньютона для системы тел. Если тела связаны нерастяжимой нитью, у них один и тот же модуль ускорения a. Для каждого тела записываем второй закон Ньютона отдельно: ma = ΣF. На груз m₁ действуют сила тяжести m₁g вниз и сила натяжения нити T₁ вверх, на груз m₂ — m₂g вниз и T₂ вверх. Если m₂ > m₁, правый груз опускается, левый поднимается: m₁a = T₁ − m₁g, m₂a = m₂g − T₂. Для невесомого блока T₁ = T₂ = T. Складываем уравнения, и натяжение сокращается: (m₁ + m₂)a = (m₂ − m₁)g.

Почему a меньше g. Систему разгоняет только разность сил тяжести (m₂ − m₁)g, а сопротивляются разгону обе массы: m₁ + m₂. Поэтому a = (m₂ − m₁)g / (m₁ + m₂). При m₂ = m₁ ускорение равно нулю: если толкнуть грузы, они поедут равномерно, хотя на каждый действуют силы. Это первый закон Ньютона: силы скомпенсированы, и скорость не меняется. Если m₂ намного тяжелее m₁, ускорение приближается к g, но никогда его не достигает. Эту зависимость показывает третий график a(m₂).

Натяжение нити. Нить не может тянуть оба груза с силой, равной весу одного из них. Подставим a: T = 2m₁m₂g / (m₁ + m₂). Это значение всегда лежит между m₁g и m₂g: опускающийся груз тянет нить слабее своего веса (T < m₂g), поэтому и ускоряется вниз, а поднимающийся груз нить тянет сильнее его веса (T > m₁g), поэтому он ускоряется вверх. В симуляторе стрелки сил нарисованы в одном масштабе — сравни длины голубых стрелок T и красных mg.

Брусок на столе. Во втором режиме брусок m₁ лежит на горизонтальном столе, а груз m₂ висит на нити, переброшенной через блок на краю стола. Сила тяжести бруска уравновешена реакцией опоры N = m₁g, систему разгоняет вес m₂g, а тормозит сила трения скольжения μN = μm₁g: a = (m₂ − μm₁)g / (m₁ + m₂). Если m₂g ≤ μm₁g, брусок вообще не сдвинется. В этом случае сила трения покоя равна ровно m₂g, а не μm₁g: трение покоя «подстраивается» под приложенную силу и только в предельном случае достигает μN.

Масса блока. Настоящий блок тоже нужно раскручивать. Однородный диск массы M при раскрутке ведёт себя так, будто к системе добавили массу M/2, поэтому a = (m₂ − m₁)g / (m₁ + m₂ + M/2). Натяжения по разные стороны блока становятся разными: T₂ − T₁ = (M/2)·a. Именно разность натяжений создаёт момент силы, который раскручивает блок. Включи массу блока и посмотри, как разошлись T₁ и T₂ во вкладке «Измерения».

Стробоскоп и правило Галилея. Груз начинает движение из покоя и движется равноускоренно, поэтому путь растёт как s = at²/2. За равные последовательные промежутки времени тело проходит отрезки, которые относятся как последовательные нечётные числа: 1 : 3 : 5 : 7 … Это правило открыл Галилей. Оно не зависит от масс, от g и даже от планеты, но нарушается, если дать грузам начальный толчок v₀. Попробуй сам.

Что попробовать. 1) Уравняй массы и задай v₀ — равномерное движение. 2) Толкни тяжёлый груз вверх: скорость направлена вверх, а ускорение вниз, груз остановится и поедет обратно. 3) Перенеси опыт на Луну: ускорение уменьшится во столько же раз, во сколько g Луны меньше земного, а отношение a/g не изменится. 4) На столе найди такое μ, при котором брусок едва трогается: m₂ = μm₁.