Жарықтың сыну заңы және толық ішкі шағылу

Лазерді транспортир бойымен айналдырып, орталарды таңда — ауа, су, шыны, алмаз. Симулятор түсу және сыну бұрыштарын өлшейді, Снеллиус заңын sin α / sin β = n₂/n₁ тексереді, толық ішкі шағылудың шекті бұрышын табады және Френель формулалары бойынша жарықтың қаншасы шағылып, қаншасы өтетінін көрсетеді.

Жоғарғы орта (n₁)

n₁ сыну көрсеткіші

Төменгі орта (n₂)

n₂ сыну көрсеткіші

Лазер

α түсу бұрышы °

Синустарды салу (sin α және sin β)

Толқын фронттары: λ = λ₀/n, v = c/n

Жазық параллель пластина

Өзіңді тексер: нәтижені болжа

Лазерді тура транспортир бойымен сүйре. Сәулелердің жарықтығы поляризацияланбаған жарыққа арналған Френель формулаларымен есептеледі; R мен T-ның дәл үлестері сәулелерге жазылған. Толық ішкі шағылуды көру үшін лазерді тығызырақ ортаға қойып, бұрышты арттыр.

Былай істеп көр: лазерді шыныға қой («2-ортада» батырмасы) да, сәулені баяу еңкейт. Сынған сәуле нормальдан барған сайын алыстап, күңгірттенеді де, 41,8°-та шекараның бойына жатады. Сәл ғана артық — және ол жоғалады: бүкіл жарық мінсіз айнадан шағылғандай кері қайтады. Бұл — толық ішкі шағылу. Шыныны алмазбен ауыстыр — шекті бұрыш 24,4°-қа дейін төмендейді, қырланған алмаздың осынша жарқырайтыны сондықтан. Ал толқын фронттарын қоссаң, сәуленің неге бұрылатынын көресің: шыныда толқын n есе баяу жүреді де, оның фронты асфальттан құмға түскен сарбаздар сапындай бұрылады.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Жарықтың сыну заңы (Снеллиус заңы)

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_1} \quad\Leftrightarrow\quad n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$$

α — түсу бұрышы, β — сыну бұрышы (екеуі де шекараның нормалінен өлшенеді); n₁ — жарық шыққан ортаның, n₂ — ол кіретін ортаның сыну көрсеткіші

▶ Толық түсіндірме

Заң жарықтың әртүрлі ортада әртүрлі жылдамдықпен жүретінінен шығады. Шекараға қиғаш түскен толқын фронтының бір шеті екінші ортаға кіріп, баяулап қалады, ал екінші шеті әлі бірінші ортада жүгіреді — сондықтан фронт бұрылады (Гюйгенс принципі). Бірдей уақытта толқын v₁t және v₂t жол жүреді, бұдан sin α / sin β = v₁/v₂ = n₂/n₁.

Мысал: ауадан шыққан сәуле шыныға (n = 1,5) 40° бұрышпен түседі. sin β = sin 40° / 1,5 = 0,643 / 1,5 = 0,429, β ≈ 25,4°. Керісінше, шыныдан ауаға 25,4° бұрышпен түскен сәуле 40°-пен шығады — сәулелер жолы қайтымды. Түскен сәуле, сынған сәуле және нормаль бір жазықтықта жатады.

Абсолюттік сыну көрсеткіші

$$n = \frac{c}{v}, \qquad \lambda = \frac{\lambda_0}{n}$$

c = 3·10⁸ м/с — вакуумдағы жарық жылдамдығы, v — ортадағы жарық жылдамдығы, λ₀ — вакуумдағы, λ — ортадағы толқын ұзындығы

▶ Толық түсіндірме

Сыну көрсеткіші заттағы жарықтың вакуумдағыдан неше есе баяу жүретінін көрсетеді: ауада n ≈ 1,0003 (есептерде 1 алынады), суда 1,33 (v ≈ 2,26·10⁸ м/с), шыныда шамамен 1,5 (v = 2·10⁸ м/с), алмазда 2,42 (v ≈ 1,24·10⁸ м/с). n-і үлкен ортаны оптикалық тығызырақ деп атайды.

Бір ортадан екіншісіне өткенде жарықтың жиілігі ν өзгермейді (шекараға қанша жал келсе, сонша кетеді), ал жылдамдығы v = λν кемиді — демек толқын ұзындығы да кемиді: λ = λ₀/n. Симуляторда толқын фронттарын қос: шыныда олар жиірек әрі баяу жүреді.

Толық ішкі шағылудың шекті бұрышы

$$\sin\alpha_0 = \frac{n_2}{n_1}, \qquad n_1 > n_2$$

Жарық оптикалық тығызырақ ортадан (n₁) тығыздығы азырақ ортаға (n₂) өтеді. α > α₀ болса, сынған сәуле жоқ — бүкіл жарық шағылады

▶ Толық түсіндірме

Сыну заңынан sin β = (n₁/n₂)·sin α. n₁ > n₂ болса, оң жағы sin α-дан тезірек өсіп, α₀ бұрышында бірге жетеді: β = 90°, сынған сәуле шекараны бойлап сырғиды. Одан үлкен бұрыштарда теңдеудің шешімі жоқ — жарық толығымен кері шағылады. Ауамен шекара үшін: су — α₀ ≈ 48,8°, шыны — 41,8°, алмаз — 24,4°. Шыны (1,5) мен су (1,33) шекарасы үшін: sin α₀ = 1,33/1,5 = 0,887, α₀ ≈ 62,5°.

ТІШ-ке көшу біртіндеп болады: α₀-ға жақындаған сайын сынған сәуле күңгірттеніп, шағылған сәуле жарқырай түседі (Френель формулалары). Толық ішкі шағылу — оптикалық талшықтың, призмалы дүрбі мен перископтың, жарық шағылдырғыштардың негізі; алмаздың шекті бұрышы кіші болғандықтан, жарық қырланған тастың ішінде көп рет шағылып, ол жарқырайды.

Шағылған жарық үлесі (Френель)

$$R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2, \qquad T = 1 - R$$

Нормаль бойымен түскендегі шағылу коэффициенті R; T — өткен жарық үлесі. Қиғаш түскенде R толық Френель формулаларымен есептеледі және бұрышпен өседі

▶ Толық түсіндірме

Нормаль бойымен түскенде шыны (n = 1,5) жарықтың (0,5/2,5)² = 4 %-ын, су — шамамен 2 %-ын, алмаз 17 %-ын шағылдырады. Қиғаш түскенде екі поляризация бөлек есептеледі: r_s = (n₁cos α − n₂cos β)/(n₁cos α + n₂cos β), r_p = (n₂cos α − n₁cos β)/(n₂cos α + n₁cos β), ал кәдімгі (поляризацияланбаған) жарық үшін R = (r_s² + r_p²)/2. Симулятордағы сәулелердің жарықтығы осылай есептелген.

Бұрыш өскен сайын R артып, сырғанай түскенде 100 %-ға ұмтылады — сондықтан алыстағы көл беті аспанды айнадай шағылдырады. Брюстер бұрышында tg α_Б = n₂/n₁ шағылған жарық толық поляризацияланады: r_p құраушысы нөлге айналып, тек s-поляризация шағылады. Толық ішкі шағылуда R = 1.

Жазық параллель пластинадағы сәуленің ығысуы

$$x = \frac{d\,\sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta}$$

d — пластина қалыңдығы, α — түсу бұрышы, β — пластина ішіндегі сыну бұрышы; сәуле түскен сәулеге параллель шығады

▶ Толық түсіндірме

Пластина ішінде сәуле d/cos β жол жүреді. Түскен сәуленің жалғасы одан α − β бұрышқа ауытқиды, сондықтан түскен және шыққан сәулелер арақашықтығы x = (d/cos β)·sin(α − β). Екінші жақта түсу бұрышы β-ға тең, ал сыну заңы бойынша сәуле α бұрышпен — түскен сәулеге параллель шығады.

Мысал: шыны пластина d = 4 см, n = 1,5, α = 45°. sin β = 0,707/1,5 = 0,471, β ≈ 28,1°; x = 4·sin 16,9° / cos 28,1° ≈ 1,32 см. α = 0 кезде ығысу жоқ, сырғанай түскенде x d-ға ұмтылады. Пластинада толық ішкі шағылу болмайды: sin β < n₁/n₂.

Сыну заңы. Екі орта шекарасында жарық сәулесі жартылай шағылады, жартылай бағытын өзгертіп, екінші ортаға өтеді. Түскен сәуле, сынған сәуле және нормаль бір жазықтықта жатады, ал бұрыштар Снеллиус заңымен байланысты: n₁·sin α = n₂·sin β, немесе sin α / sin β = n₂/n₁. Түсу бұрышы α мен сыну бұрышы β беттің өзінен емес, нормальдан — шекараға жүргізілген перпендикулярдан өлшенеді. Бұл есептердегі жиі қате.

Сыну көрсеткіші. Абсолюттік сыну көрсеткіші n = c/v заттағы жарықтың вакуумдағыдан неше есе баяу жүретінін көрсетеді: суда 1,33 (v ≈ 2,26·10⁸ м/с), шыныда шамамен 1,5, алмазда 2,42. Шекарада жарық жиілігі өзгермейді, сондықтан толқын ұзындығы кемиді: λ = λ₀/n. Оптикалық тығыздығы аз ортадан тығызырақ ортаға өткенде сәуле нормальға жақындайды (β < α), кері бағытта — одан алыстайды (β > α). Нормаль бойымен түскенде (α = 0) сәуле сынбай өтеді.

Толық ішкі шағылу. Жарық тығызырақ ортадан тығыздығы азырақ ортаға өтсе (n₁ > n₂), β бұрышы әрқашан α-дан үлкен. sin α₀ = n₂/n₁ болатын α₀ түсу бұрышында сынған сәуле шекараны бойлап сырғиды (β = 90°). α > α₀ болса, сынған сәуле мүлдем болмайды: жарық толығымен шағылады. Су — ауа шекарасы үшін α₀ ≈ 48,8°, шыны — ауа ≈ 41,8°, алмаз — ауа ≈ 24,4°. Оптикалық талшық, дүрбі мен перископ призмалары, жарық шағылдырғыштар осы құбылысқа негізделген.

Жарықтың қаншасы шағылады. Шағылған және өткен энергия үлестерін Френель формулалары береді. Нормаль бойымен түскенде R = ((n₁ − n₂)/(n₁ + n₂))² шағылады: шыныдан шамамен 4 %, судан шамамен 2 %. Бұрыш өскен сайын R артып, сырғанай түскенде 100 %-ға ұмтылады — сондықтан алыстағы су айнадай жылтырайды. Өткен үлес T = 1 − R. Шекті бұрышқа жақындаған сайын сынған сәуле сөніп, шағылған сәуле жарқырайды — ТІШ-ке көшу біртіндеп болады. Симуляторда сәулелердің жарықтығы осы формулалармен есептелген, дәл пайыздар сәулелерге жазылған және R(α) графигінде көрсетілген.

Жазық параллель пластина. Жақтары параллель пластинадан өткен сәуле түскен сәулеге параллель шығады, бірақ x = d·sin(α − β)/cos β шамаға ығысады, мұндағы d — пластина қалыңдығы. Пластина ішінде толық шағылу болмайды: екінші жақта түсу бұрышы β-ға тең, ал sin β < n₁/n₂. Пластина неғұрлым қалың, бұрыш неғұрлым үлкен болса, ығысу соғұрлым көп — терезе әйнегі артындағы заттарды осылай сәл жылжытады.