Призмадағы жарық дисперсиясы

Ақ жарықтың жіңішке шоғын шыны призмаға бағыттап, оның кемпірқосаққа жіктелуін көр: шынының сыну көрсеткіші толқын ұзындығына тәуелді болғандықтан, күлгін сәулелер қызылға қарағанда көбірек ауытқиды. Призманы бұр, оның бұрышы мен материалын өзгерт — судан алмазға дейін, ең аз ауытқу бұрышын тап, толық ішкі шағылуды байқа және Ньютонның екі атақты тәжірибесін қайтала: спектрді қайтадан ақ жарыққа жина және призманың таза түсті енді жіктемейтінін дәлелде.

Сәулелер трассировкамен есептелген: әр қырда сыну заңы орындалады, ал әлсіз шағылған сәулелер — Френель формулаларымен. Жүгіріп бара жатқан жарқылдар — жарық импульстері: шыныда олар баяуырақ жүреді (v = c/n), ал күлгіндері қызылдардан артта қалады. Пунктир — қырларға нормальдар және түскен сәуленің жалғасы, сары доға — ауытқу бұрышы δ.

Экрандағы бейне (шкала — орталық сәуледен бұрыш)

Шынының сыну көрсеткіші n(λ)

Ауытқу бұрышы δ-ның түсу бұрышы i-ге тәуелділігі

Тәжірибе

Жарық көзі, нм

Ақ жарық (барлық түс бірден)

λ лазердің толқын ұзындығы 589

Саңылау өткізетін түс 530

Призманың материалы

A призманың сындырушы бұрышы 60°

i түсу бұрышы 54.0°

Жарық импульстері (v = c/n)

Нормальдар және i, A, δ бұрыштары

Өзіңді тексер: нәтижені болжа

Модель: n(λ) — каталогтық коэффициенттері бар Селлмейер формулалары (Schott BK7, F2, SF11 шынылары; 20 °C судағы; алмаз). Ақ жарық — 400-ден 700 нм-ге дейінгі 40 толқын ұзындығы. Сәулелер сурет жазықтығында сыну заңымен және Френель формулаларымен трассаланады; экран әрқашан шоққа перпендикуляр тұрады. Импульстер таралу уақытын көрсетеді: олардың жылдамдығы ∝ 1/n.

n_қ (656 нм)

n_к (405 нм)

δ_қ

қызыл сәуленің ауытқуы

δ_к

күлгін сәуленің ауытқуы

Δδ = δ_к − δ_қ

спектрдің бұрыштық ені — дисперсия өлшемі

Мына толқын үшін: λ = 589 нм

δ_min

ең аз ауытқу бұрышы

i = (A + δ_min) / 2

сәуленің симметриялы жүрісіндегі түсу бұрышы

v = c / n

призмадағы жарық жылдамдығы

sin α₀ = 1 / n

толық ішкі шағылудың шекті бұрышы

V = (n_D − 1) / (n_F − n_C)

Аббе саны: ол неғұрлым кіші болса, шыны жарықты соғұрлым күшті жіктейді

1666 жылы Исаак Ньютон бөлмені қараңғылап, терезе қақпағынан кішкентай тесік жасады да, күн сәулесінің жолына шыны призма қойды. Қабырғада дөңгелек ақ дақтың орнына созылған түрлі түсті жолақ — спектр пайда болды: қызыл, сарғылт, сары, жасыл, көгілдір, көк, күлгін. Ньютон призманың жарықты «боямайтынын», керісінше оны ажырататынын түсінді: ақ жарық — барлық түстердің қоспасы, ал шыны әр түсті өзінше сындырады. Сыну көрсеткішінің толқын ұзындығына тәуелділігі дисперсия деп аталады.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Жарықтың сыну заңы

$$n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$$

α — түсу бұрышы, β — сыну бұрышы (қырдың нормалінен); n₁, n₂ — орталардың сыну көрсеткіштері. Оптикалық тығызырақ ортаға өткенде сәуле нормальға жақындайды

▶ Толық түсіндірме

Снеллиус заңы жарықтың әр түрлі орталарда әр түрлі жылдамдықпен жүретінінен шығады: n = c/v. Шекараға көлбеу түскен толқын фронтының бір жағы шыныға ертерек кіріп баяулайды, ал екінші жағы әлі ауада жүгіреді — сондықтан фронт бұрылады. Призмада заң екі рет қолданылады: кіру қырында (ауа → шыны) және шығу қырында (шыны → ауа).

Дисперсия заңға n арқылы кіреді: әр толқын ұзындығының өз n(λ) мәні бар. Флинтке 54° бұрышпен түскенде қызыл сәуле 30,1°, ал күлгін — 29,4° бұрышпен сынады. Айырма бір градустан аз, бірақ екінші қырдан кейін ол бірнеше градусқа дейін өседі.

Призманың сәулені ауытқыту бұрышы

$$\delta = i_1 + i_2 - A, \qquad r_1 + r_2 = A$$

i₁ — бірінші қырға түсу бұрышы, i₂ — екінші қырдан шығу бұрышы, r₁ мен r₂ — шыны ішіндегі бұрыштар, A — призманың сындырушы бұрышы; δ — түскен және шыққан сәулелер арасындағы бұрыш

▶ Толық түсіндірме

Бірінші қырда сәуле i₁ − r₁ бұрышқа, екіншісінде — i₂ − r₂ бұрышқа бұрылады, екі рет те табанына қарай. Бұрылыстарды қосып, қырлардың нормальдары A бұрышпен қиылысатынын ескерсек (осыдан r₁ + r₂ = A), δ = i₁ + i₂ − A аламыз. Әр толқын ұзындығының өз r₁ = arcsin(sin i₁/n) және i₂ = arcsin(n·sin r₂) мәндері бар, сондықтан әр түстің δ-сы да өзінше.

Егер n·sin r₂ > 1 болса, екінші бұрыш болмайды: сәуле екінші қырда толық ішкі шағылады. δ(i) графигінде бұл аймақ қызылмен боялған — кіші түсу бұрыштарында жарық призмада «қамалады», күлгіні қызылдан ертерек.

Ең аз ауытқу бойынша сыну көрсеткіші

$$n = \frac{\sin\dfrac{A + \delta_{\min}}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}$$

δmin — ең аз ауытқу бұрышы: сәуле призмадан симметриялы өткенде (i₁ = i₂, ішінде табанға параллель) болады

▶ Толық түсіндірме

Симметриялы жүрісте r₁ = r₂ = A/2 және i₁ = i₂ = (A + δmin)/2. Мұны sin i₁ = n·sin r₁ сыну заңына қойсақ, формула шығады. Зертханаларда n-ді жоғары дәлдікпен осылай өлшейді: гониометрде спектр сызығы тоқтап, кері жүргенше призманы бұрап, δmin бұрышын алады.

A = 60° флинт пен натрийдің 589 нм сары сызығы үшін i ≈ 54,1° кезінде δmin ≈ 48,2°, осыдан n = sin 54,1° / sin 30° ≈ 1,620. Симуляторда «Ең аз ауытқуды табу» батырмасы призманы осы күйге баяу бұрады.

Жұқа призма: ауытқу және спектр ені

$$\delta \approx (n - 1)A, \qquad \Delta\delta \approx (n_{\text{ф}} - n_{\text{кр}})\,A$$

Кіші A бұрышты призма үшін (түсу тым көлбеу болмағанда) ауытқу A мен (n − 1)-ге пропорционал; спектрдің бұрыштық ені Δδ күлгін мен қызыл жарыққа арналған көрсеткіштер айырмасына пропорционал

▶ Толық түсіндірме

Кіші бұрыштарда синустарды бұрыштардың өзімен алмастыруға болады: i₁ ≈ n·r₁, i₂ ≈ n·r₂, сонда δ = n(r₁ + r₂) − A = (n − 1)A. Бұдан дисперсия n айырмасы арқылы «жұмыс істейтіні» көрінеді: екі түс (n_к − n_қ)·A-ға ерекшеленетін бұрыштарға ауытқиды.

Флинт үшін n_к − n_қ ≈ 0,036, сондықтан A = 10° жұқа призма ені шамамен 0,36° спектр береді, ал A = 60° призма — шамамен 3,6° (жуан призмада ені бұл формулада көрсетілгеннен тезірек өседі). Қарапайым линзалардың түсті жиек беруі — хроматтық аберрация — да дисперсиядан; оны Аббе сандары әр түрлі крон мен флинт линзаларын желімдеп жояды.

Заттағы жарықтың жылдамдығы және толқын ұзындығы

$$v = \frac{c}{n}, \qquad \lambda_{\text{ст}} = \frac{\lambda}{n}$$

c = 3·10⁸ м/с — вакуумдағы жарық жылдамдығы; затта жарық n есе баяу, шекарадан өткенде жиілік өзгермейді, сондықтан толқын ұзындығы да n есе кемиді

▶ Толық түсіндірме

Дисперсия әр түсті жарықтың шыныда әр түрлі жылдамдықпен жүретінін білдіреді. Флинтте қызыл жарық шамамен 1,856·10⁸ м/с, ал күлгін — шамамен 1,816·10⁸ м/с жылдамдықпен қозғалады. 10 см шыныдан өткенде күлгін импульс қызылдан шамамен 12 пикосекундқа (1,2·10⁻¹¹ с) қалады — аз, бірақ сәулелердің әр түрлі сынуы дәл осы жылдамдық айырмасынан.

Симуляторда «Жарық импульстерін» қос: жарқылдар ауада сәулелер бойымен тұрақты жылдамдықпен жүгіреді де, призма ішінде баяулайды (онда олар жиірек орналасады). Түсті толқын ұзындығы емес, жиілік анықтайды: шыныда 532 нм жасыл жарықтың толқын ұзындығы шамамен 330 нм, бірақ ол жасыл болып қалады.

Толық ішкі шағылудың шекті бұрышы

$$\sin\alpha_0 = \frac{1}{n}$$

Егер жарық шыны–ауа шекарасына ішінен α₀-дан үлкен бұрышпен түссе, ол сыртқа шықпай, толық шағылады; крон үшін α₀ ≈ 41°, флинт үшін ≈ 38°, алмаз үшін ≈ 24°

▶ Толық түсіндірме

Шыныдан ауаға шыққанда сыну бұрышы түсу бұрышынан үлкен. α₀ түсу бұрышында сынған сәуле қыр бойымен сырғиды (90°), ал одан үлкен бұрышта сынған сәуле болмайды: sin β = n·sin α > 1. Бүкіл жарық кері шағылады — «толық» деген атау осыдан.

n λ-ға тәуелді болғандықтан, күлгін жарықтың шекті бұрышы қызылға қарағанда сәл кіші. Сондықтан призманы кішірек түсу бұрыштарына бұрағанда спектрден алдымен күлгін шеті жоғалады — δ(i) графигінде байқап көр. Алмазда шекті бұрыш соншалықты кіші, A = 60° призма жарықты екінші қыр арқылы мүлдем шығармайды.

Ауа мен шыны шекарасында жарық n₁·sin α = n₂·sin β заңы бойынша сынады. Сыну көрсеткіші n заттағы жарықтың вакуумдағыдан неше есе баяу жүретінін көрсетеді: v = c/n. Шыны үшін n толқын ұзындығына аздап тәуелді: флинтте қызыл жарық (656 нм) үшін n ≈ 1,615, ал күлгін (405 нм) үшін n ≈ 1,651. n неғұрлым үлкен болса, сәуле әр қырда соғұрлым күштірек бұрылады. Сондықтан күлгін сәулелер ең көп, қызылдары ең аз ауытқиды да, призманың артында ақ шоқ желпуіш болып тарайды. n(λ) графигінен n спектрдің күлгін шетіне қарай өсетіні көрінеді — бұл қалыпты дисперсия.

Призма сәулені екі рет бұрады — кіру және шығу қырларында, екі рет те табанына қарай. Түсу бұрышын i₁, шығу бұрышын i₂, ал призманың сындырушы бұрышын A деп белгілесек, толық ауытқу бұрышы δ = i₁ + i₂ − A, ал шыны ішіндегі бұрыштар r₁ + r₂ = A қатынасымен байланысқан. Призманы i жүгірткісімен бұрап, δ(i) графигін бақыла: ауытқу алдымен кемиді, содан кейін қайта өседі. Ең аз ауытқу сәуленің симметриялы жүрісінде, ол призма ішінде табанға параллель жүргенде болады. «Ең аз ауытқуды табу» батырмасын бас — экрандағы спектр тоқтап, кері бұрылады. δmin бойынша сыну көрсеткішін өлшейді: n = sin((A + δmin)/2) / sin(A/2).

Материалдарды салыстыр. Суда n ≈ 1,33 және дисперсия аз — спектр тар, бір градустан кем. Кронда спектрдің ені шамамен 1,4°, флинтте — шамамен 3,6°, ауыр флинтте — 10°-қа жуық: флинттерде қорғасын оксиді бар, ол n-ді де, оның λ-ға тәуелділігін де қатты арттырады. Оптиктер дисперсияны Аббе санымен V сипаттайды: ол неғұрлым кіші болса, шыны жарықты соғұрлым күшті жіктейді. Спектрдің ені сындырушы бұрышпен де бірге өседі: жұқа призма үшін δ ≈ (n − 1)·A, сондықтан A = 30° кезінде ауытқу 60°-тағыдан шамамен екі есе аз.

Егер екінші қырға ішінен түсу бұрышы шекті бұрыштан (sin α₀ = 1/n) үлкен болса, жарық ол арқылы шықпайды — толық ішкі шағылу болады. Алмаз үшін n ≈ 2,42 және α₀ ≈ 24°, сондықтан A = 60° алмаз призма кез келген бұрылыста жарықты екінші қыр арқылы шығармайды. A-ны 30°-қа дейін азайт — жарық шығып, жарқын спектрге жіктеледі. Бриллиант қырлары дәл осылай есептелген: жарық тас ішінде көп рет шағылып, сыртқа түрлі түсті жарқылдармен — «ойынмен» шығады.

Ньютон тәжірибелерін қайтала. «Екі призма» режимінде біріншісінің артында дәл сондай төңкерілген призма тұр: ол әр түсті кері бағытта сол бұрышқа ауытқытады да, одан қайтадан ақ шоқ шығады — демек, ақ жарық шынымен түстерден тұрады. «Шешуші тәжірибеде» тар саңылаулы тақта тек бір түсті өткізеді. Екінші призма оны ауытқытады, бірақ ол жаңа түстерге жіктелмейді: таза (монохромат) түс — қоспа емес. Жарық импульстерін қос — шыны ішінде олар баяуырақ әрі жиірек жүреді, ал күлгіндері қызылдардан артта қалады: дисперсия дегеніміз заттағы әр түсті жарықтың әр түрлі жылдамдығы.