Жарықтың екі саңылаудағы дифракциясы: Юнг тәжірибесі

Екі тар саңылауға лазер жарығын түсіріп, олардың артында жарықтың толқын сияқты әрекет ететінін көр: әр саңылаудан шеңбер тәрізді толқындар таралады, олар қосылады да, экранда кезектесіп келетін жарық және қараңғы жолақтар пайда болады. Толқын ұзындығын λ, саңылаулардың арақашықтығын d, саңылау енін a және экранға дейінгі қашықтықты L өзгерт, бір саңылауды жап, ақ жарықты қос немесе жарықты фотондап жібер — сөйтіп, жолақтар арасы Δy = λL/d неге тәуелді екенін анықта.

Саңылаулар маңындағы жазықтық — үлкейтілген масштабтағы толқындық өріс: жарық доғалар — екі саңылаудан шыққан толқын жалдары, қараңғы «шабақтар» — толқындар бірін-бірі сөндіретін бағыттар. Түсті жарық «парақтары» экрандағы k = 0, 1, 2… максимумдарына барады; сары сызық — P нүктесі.

Экрандағы бейне және I(y) интенсивтік графигі

P нүктесі неге жарық не қараңғы: жол айырымы және толқындардың қосылуы

Жарық көзі, нм

λ толқын ұзындығы 532

d саңылаулар арақашықтығы 5.0

a саңылау ені 1.0

Саңылау ені 0,8·d-дан аспайды

L экранға дейінгі қашықтық 1.00

Ақ жарық (барлық түс бірден)

Бір саңылауды жабу

Фотондап жіберу

Максимумдарға сәулелер

Графиктегі айналым

Саңылаулар маңындағы толқындық өріс

Өзіңді тексер: нәтижені болжа

Модель: әр саңылау — Гюйгенстің екінші реттік толқын көздерінің қатары; экран мен график Фраунгофер формуласымен есептелген I = 4I₀·cos²(πd·sinθ/λ)·(sin α/α)². Саңылаулар маңы үлкейтілген масштабта (микрометр), экранға дейінгі жол — метрмен көрсетілген; екі масштаб та бұрыштарды сақтайды, сондықтан толқындық өрістен шыққан сәулелер экрандағы жолақтарға дәл түседі. Толқындар көрінуі үшін саңылаулар микрометрлік; d = 0,1–1 мм болғанда формулалар сол, ал жолақтар миллиметрлік.

Δy ≈ λL / d

экрандағы жолақ ені

sin θ₁ = λ / d

1-максимумға бұрыш

y₁ = L·tg θ₁

1-максимумның дәл орны

k_max < d / λ

максимумның ең үлкен реті

a·sin θ = λ

айналымның орталық максимумының ені

N ≈ 2d / a − 1

орталық «өркеш» ішіндегі жолақтар

Жоқ реттер (d/a — бүтін)

P нүктесінде (графиктен таңда)

y_P

|Δ| = d·|sin θ|

I_P = cos²(πΔ/λ)·(sin α / α)²

1801 жылы Томас Юнг күн жарығын бір-біріне жақын орналасқан екі тесік арқылы өткізіп, экранда екі жарық дақты емес, тұтас жолақтар жүйесін көрді. Егер жарық түзу сызық бойымен ұшатын ұсақ бөлшектер ағыны болса, жолақтар болмас еді. Жолақтар жарықтың толқын болғандықтан пайда болады: саңылаулардың артында толқындар шеттерін орап өтеді (дифракция), бір-бірімен қабаттасып қосылады (интерференция). Бір толқынның жалы екіншісінің жалымен кездескен жерде жарық күшейеді; жал ойыспен кездескен жерде — сөнеді. Жарыққа жарық қосылып, қараңғылық беруі мүмкін!

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Екі саңылаудан келген толқындардың жол айырымы

$$\Delta = d\sin\theta$$

d — саңылаулардың арақашықтығы, θ — экран нүктесі саңылаулардан көрінетін бұрыш; Δ — алыс саңылаудан шыққан жолдың жақын саңылаудан шыққан жолдан қаншаға ұзын екені

▶ Толық түсіндірме

Юнг тәжірибесіндегі экран алыс орналасқан (L ≫ d), сондықтан екі саңылаудан экранның бір нүктесіне баратын сәулелер дерлік параллель. Бір саңылаудан екіншісінің сәулесіне перпендикуляр түсірейік — қалған кесінді жол айырымы болады: Δ = d·sin θ. Экран ортасында θ = 0 және Δ = 0, сондықтан толқындар бірдей фазада келеді. Жол айырымы фазалар айырымына айналады: φ = 2πΔ/λ.

Симуляторда графиктен P нүктесін таңда — «жол айырымы» панелінде Δ кесіндісі қызылмен белгіленген, ал жанында S₁ және S₂-ден келген толқындардың бір-біріне қатысты қаншалықты ығысқаны көрсетілген.

Максимумдар мен минимумдардың шарттары

$$d\sin\theta = k\lambda, \qquad d\sin\theta = \left(k+\tfrac{1}{2}\right)\lambda$$

Жарық жолақ (максимум) — жол айырымы толқын ұзындығының бүтін санына тең жерде; қараңғы (минимум) — жарты бүтін санға тең жерде; k = 0, ±1, ±2… — жолақтың реті

▶ Толық түсіндірме

Егер Δ = kλ болса, екі толқынның жалдары нүктеге бір мезетте келеді, амплитудалар қосылады, ал интенсивтік бір саңылаудағыдан 4 есе үлкен болады. Егер Δ = (k + ½)λ болса, бір толқынның жалы екіншісінің ойысымен бірге келеді де, толқындар бірін-бірі толық сөндіреді. Энергия бұл кезде жоғалмайды: ол қайта таралады — қараңғы жолақтардан жарық жолақтарға.

sin θ ≤ 1 болғандықтан, максимумның реті d/λ-дан аспайды. d = 5 мкм және λ = 532 нм болғанда k < 9,4, яғни орталықтың әр жағында 9-дан көп емес максимум. Өлшеулер панеліне қара: онда k_max және бірінші максимумның бұрышы есептелген.

Интерференциялық жолақтың ені

$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$$

Δy — экрандағы көршілес жарық (немесе қараңғы) жолақтардың арақашықтығы, L — саңылаулардан экранға дейінгі қашықтық; формула кіші бұрыштар үшін дұрыс

▶ Толық түсіндірме

Экрандағы k-ші максимумның координатасы y_k = L·tg θ_k. Кіші бұрыштарда tg θ ≈ sin θ = kλ/d, сондықтан y_k = kλL/d, ал көршілес жолақтардың арасы Δy = λL/d жолақ нөміріне тәуелді емес. Бұл Юнг тәжірибесінің басты формуласы: ұзын толқындар мен алыс экранда жолақтар кең, ал саңылаулар арасы үлкен болғанда тар.

Бұл формуламен толқын ұзындығын өлшейді: λ = Δy·d/L. Мысалы, d = 0,2 мм, L = 2 м және Δy = 5,3 мм болғанда λ = 530 нм — жасыл жарық. Симуляторда бұрыштар үлкен (саңылаулар микрометрлік), сондықтан алыс максимумдар λL/d бергеннен сәл алысырақ тұрады: өлшеулер панелінде Δy мен дәл y₁ = L·tg θ₁-ді салыстыр.

Бір саңылаудағы дифракцияның минимумдары

$$a\sin\theta = m\lambda, \quad m = \pm 1, \pm 2, \ldots$$

a — саңылау ені; осы бағыттарда бір саңылаудан шыққан жарық толық сөнеді — бұлар интерференциялық жолақтардың жарықтығын анықтайтын айналымның нөлдері

▶ Толық түсіндірме

Саңылауды ойша екі жартыға бөлейік. Егер a·sin θ = λ болса, жоғарғы жартының әр нүктесіне төменгі жартыдан жарығы λ/2 жол айырымымен келетін нүкте табылады — олар жұбымен бірін-бірі сөндіреді, және бұл бағытта қараңғы. Бір саңылаудың орталық максимумының экрандағы ені 2L·tg θ₁, мұндағы sin θ₁ = λ/a: саңылау неғұрлым тар болса, дақ соғұрлым кең.

Екі саңылаудың интерференциялық жолақтары осы айналымның ішінде «өмір сүреді». Орталық өркештің ішіне шамамен 2d/a − 1 жолақ сыяды. Егер d/a бүтін m сан болса, m, 2m… реттердің максимумдары айналымның нөлдеріне түсіп, жоғалады — графикте олар қызыл крестпен белгіленген. d = 5 мкм, a = 1 мкм етіп көр.

Экрандағы интенсивтіктің таралуы

$$I(\theta) = 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2}, \quad \alpha = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$

I₀ — бір саңылаудан ортадағы интенсивтік; cos² көбейткіші — екі саңылаудың интерференциясы (жиі жолақтар), (sin α/α)² көбейткіші — әр саңылаудағы дифракция (айналым)

▶ Толық түсіндірме

Симулятор экран мен график үшін осы формуланы қолданады. Фазалар ығысуы φ = 2πΔ/λ болатын бірдей E амплитудалы екі толқын амплитудасы 2E·cos(φ/2) толқынға қосылады; интенсивтік амплитуданың квадратына пропорционал, осыдан 4I₀·cos²(πd·sin θ/λ). Максимумда жарықтық бір саңылаудағыдан 4 есе көп, минимумда — нөл, ал экран бойынша орташа есеппен дәл екі есе көп — энергия сақталады.

Екінші көбейткіш әр саңылаудың θ бұрышпен қанша жарық жіберетінін сипаттайды. Өте тар саңылау үшін (a ≪ λ) ол 1-ге жуық, және барлық жолақ бірдей жарық. Ақ жарық үшін симулятор 400-ден 700 нм-ге дейінгі 16 толқын ұзындығының бейнелерін қосады — кемпірқосақ жолақтары осылай шығады.

Юнг тәжірибесі қарапайым: лазер, екі тар параллель саңылауы бар мөлдір емес пластинка және экран. Гюйгенс принципі бойынша әр саңылаудың өзі екінші реттік толқындардың көзіне айналады. Бұл толқындар бір ғана түскен толқыннан туады, сондықтан олар когерентті — тұрақты фазалар айырымымен келісіп тербеледі. Симуляторда саңылаулар маңындағы горизонталь жазықтық лездік толқындық өрісті көрсетеді: жарық доғалар — саңылаулардан тарайтын толқын жалдары, ал олардың арасындағы қараңғы «шабақтар» — толқындар бірін-бірі үнемі сөндіретін сызықтар.

Жарық жолақтың қайда түсетінін жол айырымы шешеді. Экрандағы θ бұрышпен көрінетін P нүктесіне дейін алыс саңылаудан шыққан толқын Δ = d·sin θ-ға ұзын жол жүреді. Егер бұл айырымға толқын ұзындығының бүтін саны сыйса, Δ = kλ, жалдар бірге келеді — k-ретті максимум. Егер жарты бүтін сан болса, Δ = (k + ½)λ, жал ойысқа түседі де, онда қараңғы жолақ болады. Симулятордың төменгі панелі мұны көрнекі көрсетеді: P нүктесін график бойымен сүйреп, екі толқынның бір-біріне қатысты қалай ығысатынын және қосындының қандай болатынын бақыла.

Кіші бұрыштар үшін sin θ ≈ tg θ = y/L, және максимумдар экранда бірдей Δy = λL/d аралықпен орналасады. Бұдан жүгірткілермен оңай тексерілетін үш басты қорытынды шығады. Толқын ұзындығы неғұрлым үлкен болса, жолақтар соғұрлым кең: қызыл лазердің жолақтары жасыл мен көкке қарағанда кең. Экран неғұрлым алыс болса, жолақтар соғұрлым кең. Ал саңылаулар бір-біріне неғұрлым жақын болса, жолақтар соғұрлым кең — сондықтан Юнг тәжірибесіндегі саңылаулар өте жақын болуы керек. Δy, L және d-ны өлшеп, жарықтың толқын ұзындығын табуға болады: λ = Δy·d/L. Юнг көрінетін жарықтың толқын ұзындығын алғаш рет дәл осылай өлшеді — шамамен жарты микрометр.

Әр саңылаудың ені a шектеулі, және жарық онда да дифракцияланады. Сондықтан жолақтардың жарықтығы бірдей емес: оларды айналым «жабады» — нөлдері a·sin θ = mλ болатын бір саңылаудағы дифракция бейнесі (графиктегі пунктир). Саңылаулар неғұрлым тар болса, орталық «өркеш» соғұрлым кең және оған көбірек жолақ сыяды. Егер d/a бүтін сан болса, кейбір максимумдар айналымның нөлдеріне дәл түсіп, жоғалады: d = 5a болғанда 5-ші, 10-шы… реттер жоқ. Бір саңылауды жап — жиі жолақтар жоғалады, кең дифракциялық жолақ қалады, ал ортадағы жарықтық 2 емес, 4 есе төмендейді: екі когерентті толқын амплитудалары бойынша қосылады, I ∝ (E + E)² = 4E².

Ақ жарықты қос. Орталық жолақ ақ — ол үшін кез келген толқын ұзындығында Δ = 0. Ал бүйірлік жолақтар кемпірқосақ түстес: күлгіндері ортаға жақын, қызылдары алыс, өйткені Δy ∝ λ; әрі қарай әр түрлі реттердің түсті жолақтары бір-бірін жауып, бұлыңғырланады. Соңында «фотондап жіберу» режимі: жарық соншалықты әлсіз болып, қондырғы арқылы бір мезетте бір ғана фотон ұшса да, экрандағы нүктелер біртіндеп сол интерференциялық жолақтарға жиналады. Әр фотон толқын ретінде «екі саңылаудан да өтеді», ал экранға бір нүктеде түседі — бұл корпускулалық-толқындық дуализм.