Изопроцессы идеального газа

Газ в цилиндре под поршнем: нагрей его, сожми или зафиксируй — и посмотри, как меняются давление, объём и температура. Молекулы летят, бьют в поршень и стенки, а манометр, термометр и три графика показывают то же самое числами. Нажми «Запустить процесс» — или бери ползунки сам.

p давление

V объём

T температура

Графики процессов

Один и тот же процесс в трёх «ракурсах». Кривая — весь процесс, жёлтая точка «2» — текущее состояние, серое кольцо «1» — старт. По форме линии определи процесс — именно так задают задачи на ЕНТ.

Главная мысль: у газа три параметра — давление p, объём V и температура T, — но свободны только два. Третий определяется уравнением pV = νRT. Изопроцесс — это когда один из трёх параметров держат постоянным, поэтому процессов три. Следи за цветными метками у ползунков: «постоянно» — параметр зафиксирован, «меняешь ты» — им управляешь ты, «считается» — он подстраивается сам. А пунктирная линия «1» на сцене показывает, откуда стартовал процесс.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Уравнение Менделеева — Клапейрона

$$pV = \nu RT$$

Уравнение состояния идеального газа: давление, объём и температура связаны через количество вещества и газовую постоянную

▶ Подробное объяснение

ν — количество вещества в молях (ν = m/M), R = 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная, T — только абсолютная температура в кельвинах: T (К) = t (°C) + 273. Подставлять градусы Цельсия нельзя.

Следствие: если ν не меняется, из трёх величин p, V, T независимы только две. Если ещё и T постоянна — pV = const; если p постоянно — V/T = const; если V постоянен — p/T = const. На этом стоят все три изопроцесса.

Числа: ν = 1 моль, T = 300 К, V = 24,9 л → p = νRT/V = 8,31·300/0,0249 ≈ 100 кПа. В симуляторе в цилиндре ν ≈ 0,30 моль, поэтому νR = 2,5 Дж/К, и связь выглядит совсем просто: p·V (кПа·л) = 2,5·T (К). Состояние по умолчанию: 150 кПа · 5 л = 750 Дж = 2,5 · 300 К.

Изобарный процесс — закон Гей-Люссака

$$p = \text{const},\qquad \frac{V}{T} = \text{const}$$

При постоянном давлении объём газа пропорционален абсолютной температуре

▶ Подробное объяснение

Давление постоянно: поршень свободно движется под неизменным грузом. Газ при нагревании расширяется, а объём и температура растут пропорционально: V₁/T₁ = V₂/T₂. Нагрели вдвое (300 → 600 К) — объём вырос вдвое: при p = 150 кПа с 5 до 10 л.

Графики: p–V — горизонтальная линия, V–T — прямая, продолжение которой проходит через начало координат, p–T — горизонталь. Работа газа A = p·(V₂ − V₁) — площадь прямоугольника под изобарой на p–V.

Названия законов в учебниках отличаются: в российских и казахстанских это закон Гей-Люссака, в англоязычных — закон Шарля.

В симуляторе давление задаёт груз (ползунок «постоянно»), ты меняешь T, а объём считается по V = νRT/p.

Изохорный процесс — закон Шарля

$$V = \text{const},\qquad \frac{p}{T} = \text{const}$$

При постоянном объёме давление газа пропорционально абсолютной температуре

▶ Подробное объяснение

Объём постоянен: поршень зафиксирован. Давление растёт пропорционально температуре: p₁/T₁ = p₂/T₂. Нагрели с 300 до 600 К при V = 5 л — давление выросло ровно вдвое: 150 → 300 кПа.

Молекул не стало больше — они просто летят быстрее и бьют по стенкам чаще и сильнее. Работа A = 0, потому что объём не меняется, поэтому вся подведённая теплота идёт на нагрев: Q = ΔU.

Графики: p–V — вертикаль, V–T — горизонталь, p–T — прямая через начало координат.

Названия законов в учебниках отличаются: в российских и казахстанских это закон Шарля, в англоязычных — закон Гей-Люссака.

В симуляторе объём задаёт фиксатор поршня (ползунок «постоянно»), ты меняешь T, а давление считается по p = νRT/V.

Изотермический процесс — закон Бойля — Мариотта

$$T = \text{const},\qquad pV = \text{const}$$

При постоянной температуре давление обратно пропорционально объёму

▶ Подробное объяснение

Температура постоянна (сосуд в термостате), поэтому pV = const, то есть p₁V₁ = p₂V₂: объём уменьшили вдвое — давление выросло вдвое. Пример: при T = 300 К и ν ≈ 0,30 моль сжатие с 6 до 3 л поднимает давление со 125 до 250 кПа.

Графики: p–V — гипербола, V–T и p–T — вертикальные прямые, потому что T не меняется. Работа A = νRT·ln(V₂/V₁): при сжатии газ получает работу (A < 0) и отдаёт столько же теплоты термостату, при расширении — наоборот. Внутренняя энергия не меняется: ΔU = 0.

В симуляторе T задаёт термостат (ползунок «постоянно»), ты меняешь V, а давление считается по p = νRT/V. Помни: температура — только в кельвинах, «27 °C» — это 300 К.

Работа газа и первый закон термодинамики

$$Q = \Delta U + A,\qquad \Delta U = \frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T$$

Теплота, подведённая к газу, идёт на изменение его внутренней энергии и на работу газа

▶ Подробное объяснение

Для одноатомного идеального газа (гелий) ΔU = (3/2)·νR·ΔT. Работа газа A равна площади под графиком p–V.

Изобара: A = p·ΔV = νR·ΔT, поэтому Q = (5/2)·νR·ΔT. Изохора: A = 0, Q = ΔU = (3/2)·νR·ΔT. Изотерма: ΔU = 0, Q = A = νRT·ln(V₂/V₁).

Пример из симулятора (νR = 2,5 Дж/К): изобарное нагревание 300 → 600 К при 150 кПа даёт ΔU = 1,5·2,5·300 = 1125 Дж, A = 150·(10 − 5) = 750 Дж, Q = 1875 Дж. Изохорное нагревание на те же 300 К требует только Q = 1125 Дж: расширяться не надо — работы нет.

Три величины, но свободны только две. Состояние газа описывают давление p, объём V и температура T. Они связаны уравнением Менделеева — Клапейрона pV = νRT, где ν — количество вещества в молях, R = 8,31 Дж/(моль·К). Поэтому свободно менять можно только два параметра — третий подстроится сам. Если количество газа не меняется, получаются три простых закона: изобарный, изохорный и изотермический.

Что значит «изо». Греческая приставка «изо-» означает «равный»: изобарный — равное давление, изохорный — равный объём, изотермический — равная температура. В каждом процессе один параметр держат постоянным (в симуляторе он помечен «постоянно» и подсвечен жёлтым), вторым управляешь ты («меняешь ты» — синий), а третий считается по уравнению состояния (серый, ползунок заблокирован).

Почему так, на уровне молекул. Давление — это удары молекул о стенки и поршень. Чем чаще и сильнее удары, тем больше давление. Сила удара растёт со скоростью молекулы, а средняя скорость растёт как √T: нагрел газ в 4 раза — молекулы летят вдвое быстрее. Частота ударов зависит от того, сколько молекул приходится на единицу объёма: сжал газ вдвое — на то же место приходится вдвое больше молекул. Из этих двух идей выходят все три закона: давление пропорционально числу молекул в единице объёма и температуре.

Изобарный процесс (p = const). Поршень свободно ходит под постоянным грузом, поэтому давление газа всё время равно давлению груза. Нагреваем — молекулы разгоняются, толкают поршень, газ расширяется: V/T = const. В российских и казахстанских учебниках этот закон называют законом Гей-Люссака (в англоязычных — законом Шарля). На графиках: p–V — горизонталь, V–T — прямая через начало координат, p–T — горизонталь.

Изохорный процесс (V = const). Поршень зафиксирован, газу некуда расширяться, а нагрев разгоняет молекулы: они бьют в стенки чаще и сильнее, давление растёт: p/T = const (закон Шарля). На графиках: p–V — вертикаль, V–T — горизонталь, p–T — прямая через начало координат.

Изотермический процесс (T = const). Сосуд стоит в термостате (в симуляторе — ванна с водой), температура постоянна, а значит, скорость молекул не меняется. Меняется только объём: меньше места — удары чаще, давление растёт: pV = const (закон Бойля — Мариотта). На p–V — гипербола, на V–T и p–T — вертикали.

Градусы нельзя, кельвины можно. В законах температура — только абсолютная: T (К) = t (°C) + 273. Нагрев «с 27 °C до 327 °C» — это 300 К → 600 К, то есть в 2 раза, а не в 12. Самая частая ошибка на экзамене.

Работа, энергия и теплота. Расширяясь, газ совершает работу A = p·ΔV — на графике p–V это площадь под кривой (в симуляторе закрашена жёлтым). Для одноатомного газа (гелий) изменение внутренней энергии ΔU = (3/2)·νR·ΔT, а первый закон термодинамики Q = ΔU + A говорит, сколько теплоты нужно подвести. При изохорном нагреве A = 0: вся теплота идёт на ΔU. При изотермическом ΔU = 0: вся теплота превращается в работу, Q = A = νRT·ln(V₂/V₁). При изобарном часть теплоты уходит на работу, поэтому для того же нагрева её нужно больше: Q = (5/2)·νR·ΔT.

Как работать с симулятором. (1) Нажми «Запустить процесс» и смотри, как сама работает цепочка «температура → скорость молекул → удары → давление или объём». (2) Выбери процесс и возьми управление на себя: двигай ползунок «меняешь ты». (3) Нажми «Начать отсчёт здесь» и растяни процесс: вкладка «Измерения» проверит закон (например, V₂/V₁ = T₂/T₁) и посчитает A, ΔU и Q. (4) Попробуй «Опыты»: «Нагреть вдвое» при изобаре поднимает объём с 5 до 10 л. (5) Пройди мини-тест внизу страницы.

Что на графиках. Три графика — p–V, V–T и p–T — показывают процесс сразу в трёх «ракурсах». Жёлтая точка — текущее состояние «2», серое кольцо «1» — старт. В задачах ЕНТ вместо формулы дают график: по форме линии нужно определить процесс и найти параметр. На V–T и p–T пунктир продолжает прямую до T = 0 К — так видно, что объём (или давление) пропорциональны абсолютной температуре.

Допущения модели. Газ идеальный: молекулы — точки, которые не взаимодействуют и не сталкиваются друг с другом. Количество газа постоянно (ν ≈ 0,30 моль); на сцене для наглядности показано 54 «молекулы» — это условный масштаб, а не реальное число. Процессы квазистатические: достаточно медленные, чтобы в каждый момент газ был в равновесии. Скорость молекул v кв. = √(3RT/M) в панели «Измерения» посчитана для гелия (M = 4 г/моль).