Внутренняя энергия идеального газа: одно-, двух- и трёхатомный газ

Три одинаковых сосуда с гелием, кислородом и водяным паром при одной температуре. Молекулы летают и вращаются, а их цвет показывает энергию. Передай всем трём газам одинаковое количество теплоты и посмотри, какой нагреется сильнее, а потом выбери один газ и разгляди, из каких «способов движения» складывается энергия его молекулы.

цвет молекулы — её энергия: синий — меньше средней, красный — больше → 1–3поступательные степени свободы ↻ 4–6вращательные степени свободы

Скорости молекул на сцене пропорциональны реальным (1000 м/с → 1 деление в секунду), вращение условно замедлено. Выбери в списке один газ — рядом с сосудом появится увеличенная молекула с пронумерованными степенями свободы.

Из чего состоит U

Внутренняя энергия от температуры: U(T)

Газ

Q количество теплоты 1000 Дж

T температура (задать всем) 300 K

ν количество вещества 1.0 моль

Замедлить движение молекул

Проверь себя

Сосуды закрыты неподвижными поршнями (V = const), поэтому вся теплота идёт на изменение внутренней энергии. Нагреватели одинаковые: в режиме сравнения каждый газ получает одно и то же Q. Колебания атомов внутри молекул не учитываются — при обычных температурах они не возбуждаются.

Внутренняя энергия идеального газа — это суммарная кинетическая энергия его молекул: U = (i/2)·ν·R·T. На каждую степень свободы молекулы приходится одинаковая энергия ½kT, а степеней свободы у одноатомной молекулы 3, у двухатомной 5, у трёхатомной 6. Поэтому при одной температуре U трёхатомного газа вдвое больше, чем одноатомного, а одно и то же количество теплоты сильнее всего нагревает одноатомный газ.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Внутренняя энергия идеального газа

$$U = \frac{i}{2}\,\nu R T = \frac{i}{2}\,\frac{m}{M}\,R T$$

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна числу степеней свободы молекулы i, количеству вещества ν и абсолютной температуре T

▶ Подробное объяснение

Молекулы идеального газа не притягиваются и не отталкиваются на расстоянии, поэтому вся внутренняя энергия — кинетическая. U зависит только от температуры: при изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не меняется, как бы ни менялись давление и объём.

Пример: 1 моль гелия при 300 K: U = 1,5·1·8,31·300 ≈ 3,7 кДж. Столько же молей кислорода при той же температуре: U = 2,5·8,31·300 ≈ 6,2 кДж, водяного пара: U = 3·8,31·300 ≈ 7,5 кДж. На графике U(T) это три прямые с наклонами (i/2)·ν·R.

Число степеней свободы молекулы

$$i = i_{\text{пост}} + i_{\text{вращ}}: \qquad 3 = 3 + 0, \quad 5 = 3 + 2, \quad 6 = 3 + 3$$

Одноатомная молекула — i = 3, двухатомная (и линейная, как CO₂) — i = 5, нелинейная трёхатомная и многоатомная — i = 6

▶ Подробное объяснение

Любая молекула может двигаться поступательно вдоль трёх осей — это три степени свободы. Вращательные степени свободы добавляются, если у молекулы есть заметный момент инерции относительно оси. У одноатомной молекулы момент инерции ничтожен, вращение не в счёт. У двухатомной есть две оси, перпендикулярные связи, а вокруг самой связи момент инерции почти нулевой — поэтому вращательных степеней две. Нелинейная молекула имеет три оси вращения.

В симуляторе выбери один газ и посмотри на увеличенную молекулу: зелёные стрелки 1–3 — поступательное движение, оранжевые кольца — вращение, а у двухатомной молекулы серое кольцо вокруг оси связи перечёркнуто: оно не считается.

Равнораспределение энергии по степеням свободы

$$\langle \varepsilon \rangle = \frac{i}{2}\,k T, \qquad \langle \varepsilon_{\text{пост}} \rangle = \frac{3}{2}\,k T = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2}$$

На каждую степень свободы в среднем приходится энергия ½kT; средняя энергия поступательного движения одинакова у молекул всех газов при одной температуре

▶ Подробное объяснение

k = 1,38·10⁻²³ Дж/К — постоянная Больцмана, R = k·N_A. При 300 K на одну степень свободы приходится ½kT ≈ 2,07·10⁻²¹ Дж, и молекула гелия в среднем несёт 6,2·10⁻²¹ Дж, кислорода — 10,4·10⁻²¹ Дж, воды — 12,4·10⁻²¹ Дж.

Поступательная энергия у всех одинакова, но скорости разные: v_кв = √(3RT/M). При 300 K молекулы гелия (M = 4 г/моль) летают со скоростью около 1370 м/с, а кислорода (M = 32 г/моль) — около 480 м/с. На анимации гелий заметно «быстрее», хотя энергия поступательного движения у молекул та же.

Изменение внутренней энергии и нагрев при V = const

$$\Delta U = \frac{i}{2}\,\nu R\,\Delta T, \qquad Q = \Delta U \;\Rightarrow\; \Delta T = \frac{2Q}{i\,\nu R}, \qquad C_V = \frac{i}{2} R$$

При постоянном объёме газ не совершает работы, и вся полученная теплота идёт на увеличение внутренней энергии; чем больше i, тем меньше нагрев

▶ Подробное объяснение

По первому закону термодинамики Q = ΔU + A. Поршень закреплён, работа A = 0, поэтому Q = ΔU. Пример: каждому газу (ν = 1 моль) передали Q = 1000 Дж. Гелий нагреется на ΔT = 2·1000/(3·8,31) ≈ 80 K, кислород — на 48 K, водяной пар — на 40 K.

C_V = (i/2)·R — молярная теплоёмкость при постоянном объёме: 12,5 Дж/(моль·К) у одноатомных газов, 20,8 у двухатомных и 24,9 у трёхатомных. Чем больше «способов» запасать энергию у молекулы, тем больше теплоты нужно, чтобы поднять температуру на 1 K.

Внутренняя энергия через давление и объём

$$pV = \nu R T \;\Rightarrow\; U = \frac{i}{2}\,p V$$

С учётом уравнения Менделеева–Клапейрона внутреннюю энергию можно найти по давлению и объёму газа

▶ Подробное объяснение

Эта форма удобна в задачах, где даны p и V, а не температура. Пример: в баллоне объёмом 10 л находится гелий под давлением 200 кПа. U = 1,5·2·10⁵·10⁻² = 3 кДж. Если в том же баллоне при том же давлении кислород, U = 2,5·2·10³ = 5 кДж.

Отсюда же видно, что при изобарном расширении (p = const) внутренняя энергия растёт пропорционально объёму, а при изохорном нагреве (V = const) — пропорционально давлению.

Идеальный газ — модель, в которой молекулы не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, поэтому у них нет потенциальной энергии взаимодействия. Внутренняя энергия такого газа — это просто сумма кинетических энергий всех его молекул. Она зависит только от температуры и количества вещества: U = (i/2)·ν·R·T, где ν — число молей, R = 8,31 Дж/(моль·К), а i — число степеней свободы молекулы.

Степени свободы — это независимые «способы», которыми молекула может двигаться и запасать энергию. Одноатомная молекула (He, Ne, Ar) может только лететь вдоль трёх осей x, y, z: i = 3. Двухатомная (H₂, N₂, O₂) к тому же вращается вокруг двух осей, перпендикулярных связи. Вращение вокруг самой оси связи энергии почти не несёт, поэтому i = 3 + 2 = 5. Нелинейная трёхатомная молекула, например H₂O, вращается вокруг всех трёх осей: i = 3 + 3 = 6. Выбери в симуляторе один газ — рядом с сосудом появится увеличенная молекула со стрелками поступательного движения и кольцами вращения, и каждая степень свободы будет пронумерована.

Теорема о равнораспределении энергии говорит, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия ½kT. Значит, средняя энергия молекулы ⟨ε⟩ = (i/2)·k·T, а средняя энергия поступательного движения у всех газов одинакова и равна (3/2)·k·T. При этом лёгкие молекулы гелия летают быстрее тяжёлых молекул кислорода: v = √(3RT/M). Это видно и на анимации, и в панели измерений. Полоска «Из чего состоит U» делит энергию на блоки по ½νRT: зелёные — поступательное движение, оранжевые — вращение.

В режиме сравнения нажми «Передать Q». Сосуды закрыты неподвижными поршнями (V = const), поэтому вся теплота идёт на увеличение внутренней энергии: Q = ΔU = (i/2)·ν·R·ΔT. У гелия теплота расходуется только на поступательное движение, и его температура растёт сильнее всех. У кислорода и водяного пара часть энергии уходит во вращение молекул, и они нагреваются меньше: ΔT обратно пропорционально i. Обрати внимание на ловушку: CO₂ тоже трёхатомный, но его молекула линейная, и у него i = 5. Колебания атомов внутри молекулы при обычных температурах не возбуждаются, и в школьной модели их не учитывают. Галочка «Проверь себя» предложит предсказать результат опыта, а потом проверить его на модели.