Атвуд машинасы және байланысқан денелер

Екі жүк блок арқылы жіппен байланған. Ауыр жүк төмен түседі, жеңілі көтеріледі, бірақ еркін түсуден әлдеқайда баяу: қондырғының жанындағы шар сол биіктіктен түсіп, жүкті бірнеше есе басып озады. Әр денеге қандай күштер әсер ететінін және жіптің керілу күші неге ешбір жүктің салмағына тең емес екенін көр. Стробоскоп жарқылдары жолды 1 : 3 : 5 : 7 кесінділерге бөледі. Білеушені үстелге қой, үйкеліс қос, блокты ауырлат немесе тәжірибені Ай мен Юпитерге көшір, ал «Өзіңді тексер» қойындысында алдымен үдеуді есепте, содан кейін оны тәжірибемен тексер.

↓mg— ауырлық күші ↑T— жіптің керілу күші →a— үдеу →v— жылдамдық ●шар сол биіктіктен еркін түседі — салыстыру үшін

Барлық күштер бір масштабта салынған, сондықтан олардың ұзындықтарын салыстыруға болады: төмен түсетін жүкте T < mg, көтерілетін жүкте T > mg. Жіп созылмайды және салмақсыз, сондықтан екі дене де модулі бірдей үдеумен қозғалады. Жартылай мөлдір көшірмелер — тең уақыт аралықтарындағы стробоскоп жарқылдары, сары сандар — жарқылдар арасындағы жол біріншісінен неше есе үлкен екенін көрсетеді.

Қондырғы

Тәжірибе қай жерде

m₁ сол жақ жүктің массасы 1.0 кг

m₂ оң жақ (ілулі) жүктің массасы 1.4 кг

μ білеуше мен үстелдің үйкеліс коэффициенті 0.20

M блоктың массасы (0 — салмақсыз) 0.0 кг

v₀ бастапқы итеру (+ — m₂ төмен) 0.00 м/с

Көрсету жылдамдығы

Күш, үдеу және жылдамдық векторлары

Стробоскоп: тең Δt сайын жарқыл

Салыстыру үшін еркін түсу

Жүйені жүктердің ауырлық күштерінің айырмасы үдетеді, ал ол екі массаны бірден үдетуі керек, сондықтан a = (m₂ − m₁)g / (m₁ + m₂) әрқашан g-дан кіші. Массаларды теңестіріп, v₀ итеру бер — әр жүкке күштер әсер етсе де, олар бірқалыпты қозғалады. Тәжірибені Айға не Юпитерге көшір, блокты ауырлат, ал үстелде білеуше қозғалмайтындай μ таңда.

a — үдеу

a / g

T₁ m₁ жүгіне

T₂ m₂ жүгіне

Үдететін күш: Атвудта (m₂ − m₁)g, үстелде m₂g

Есепті шығар, жауабын енгіз — қондырғы осы массалармен тәжірибені өзі жүргізеді.

Қозғалыс графиктері

Жүктің жылдамдығы сызықтық өседі — v(t) түзуінің көлбеулігі үдеу a-ға тең. Жол s = at²/2 парабола бойымен өседі. Сұр үзік сызық — еркін түсу үшін дәл сондай график: оның g көлбеулігі әлдеқайда тік. Үшінші график үдеудің m₂ массасына тәуелділігін көрсетеді: m₂ = m₁ болғанда ол нөлге тең, ал m₂ ≫ m₁ болғанда g-ға ұмтылады, бірақ одан ешқашан аспайды.

Машинаны ағылшын физигі әрі математигі, Кембридж оқытушысы Джордж Атвуд ойлап тапқан. 1784 жылы ол оны «Денелердің түзу сызықты қозғалысы мен айналуы туралы трактатта» сипаттады. Құлаған дене XVIII ғасырдағы сағатпен дәл өлшеу үшін тым жылдам: бірінші секундта ол 5 метрге жуық ұшады. Галилей кезінде шарларды көлбеу науамен домалатып, түсуді баяулатқан, ал Атвуд басқа тәсіл тапты: жеңіл блокқа екі бірдей дерлік жүкті ілу. Жүйені тек олардың ауырлық күштерінің айырмасы үдетеді, ал екі масса бірдей инертті, сондықтан үдеуді g-дан бірнеше есе аз етуге болады. Қозғалыс бірқалыпты үдемелі күйінде қалады, бірақ уақыт бойынша созылады, оны маятникпен және сызғышпен өлшеу ыңғайлы. Атвуд машинасында бірқалыпты үдемелі қозғалыс заңдары мен Ньютонның екінші заңы тексерілген, ол мектептің физика кабинеттерінде әлі күнге дейін қолданылады.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Жүйедегі әр дене үшін Ньютонның екінші заңы

$$m\vec{a} = \sum \vec{F}$$

m — дененің массасы, a — оның үдеуі, ΣF — осы денеге әсер ететін барлық күштердің векторлық қосындысы. Байланысқан денелер үшін заң әр денеге бөлек жазылады

▶ Толық түсіндірме

Атвуд машинасы үшін (m₂ > m₁) әр жүктің қозғалыс бағытына проекциялар мына жүйені береді: m₁a = T₁ − m₁g және m₂a = m₂g − T₂. Жіп созылмайды, сондықтан жүктердің үдеулері модулі бойынша тең. Жіп пен блок салмақсыз, сондықтан T₁ = T₂ = T.

Теңдеулерді қосқанда жүйенің ішкі күштері (жіптің керілуі) қысқарады, жүйе үшін тұтас теңдеу қалады: (m₁ + m₂)a = (m₂ − m₁)g. Жүйенің үдеуін тек сыртқы күштер анықтайды.

Атвуд машинасы жүктерінің үдеуі

$$a = \frac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$$

m₁, m₂ — жүктердің массалары, кг; g — еркін түсу үдеуі, м/с². Алымы — үдететін күш, бөлімі — үдетілетін бүкіл масса, сондықтан әрқашан a < g

▶ Толық түсіндірме

Мысал: m₁ = 1,0 кг, m₂ = 1,4 кг. Сонда a = (1,4 − 1,0)·9,81 / 2,4 ≈ 1,64 м/с², бұл g-дан шамамен 6 есе кіші. 1 м биіктіктен мұндай жүк t = √(2h/a) ≈ 1,1 с ішінде түседі, ал еркін түскен дене — 0,45 с ішінде.

Блоктың массасын M (біртекті диск) ескерсек, бөлімге M/2 қосылады: a = (m₂ − m₁)g / (m₁ + m₂ + M/2). m₁ = m₂ болғанда үдеу нөлге тең — жүктер тыныштықта тұрады немесе бірқалыпты қозғалады.

Жіптің керілу күші

$$T = \frac{2\,m_1 m_2\, g}{m_1 + m_2}$$

T — жіптің керілу күші, Н (блок пен жіп салмақсыз). Оның мәні әрқашан жүктердің салмақтарының арасында жатады: m₁g < T < m₂g

▶ Толық түсіндірме

Формула үдеуді кез келген жүктің теңдеуіне қою арқылы алынады: T = m₁(g + a) = m₂(g − a). m₁ = 1,0 кг және m₂ = 1,4 кг болғанда: T = 2·1,0·1,4·9,81 / 2,4 ≈ 11,4 Н. Жеңіл жүктің салмағы 9,81 Н, ауырының салмағы 13,7 Н.

Жиі кездесетін қате — жіп m₂g күшімен тартады деп санау. Егер солай болса, ауыр жүк қозғалмай ілулі тұрар еді. Ол дәл T < m₂g болғандықтан төмен қарай үдеумен түседі.

Үстелдегі білеуше және ілулі жүк

$$a = \frac{(m_2 - \mu m_1)\,g}{m_1 + m_2}$$

m₁ — үстелдегі білеушенің массасы, m₂ — ілулі жүктің массасы, μ — сырғанау үйкелісінің коэффициенті. Формула m₂ > μm₁ болғанда дұрыс, әйтпесе білеуше тыныштықта тұрады

▶ Толық түсіндірме

Білеуше үшін: m₁a = T − μm₁g (горизонталь бойынша) және N = m₁g (вертикаль бойынша). Жүк үшін: m₂a = m₂g − T. Қоссақ, формула шығады. Жіптің керілу күші T = m₁m₂g(1 + μ) / (m₁ + m₂).

Егер m₂g ≤ μm₁g болса, жүйе тыныштықта тұрады. Сонда тыныштық үйкеліс күші m₂g-ға тең, яғни тепе-теңдікке қажетті мөлшерде ғана. Үйкеліссіз (μ = 0) a = m₂g / (m₁ + m₂) шығады.

Тыныштықтан бірқалыпты үдемелі қозғалыстағы жол

$$s = \frac{a t^2}{2}, \qquad s_1 : s_2 : s_3 : s_4 = 1 : 3 : 5 : 7$$

s — тыныштықтан бастап t уақыт ішінде жүрілген жол; s₁, s₂, s₃ … — бірінен соң бірі келетін тең Δt уақыт аралықтарындағы жолдар (Галилейдің тақ сандар ережесі)

▶ Толық түсіндірме

Алғашқы Δt ішінде дене a(Δt)²/2 жол жүреді, алғашқы 2Δt ішінде — 4·a(Δt)²/2, 3Δt ішінде — 9·a(Δt)²/2. Әр келесі аралықтағы кесінді — көрші квадраттардың айырмасы: 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16 − 9 = 7. Қатынас a-ға да, Δt-ға да тәуелді емес.

Симулятордағы стробоскоп тең Δt сайын жарқылдап, кесінділердің қатынасын жазады. Егер жүктерге бастапқы v₀ жылдамдық берсең, әр кесіндіге v₀Δt қосылады, және 1 : 3 : 5 : 7 қатынасы бұзылады.

Денелер жүйесі үшін Ньютонның екінші заңы. Егер денелер созылмайтын жіппен байланған болса, олардың үдеу модулі бірдей, a. Әр дене үшін Ньютонның екінші заңын бөлек жазамыз: ma = ΣF. m₁ жүгіне төмен қарай m₁g ауырлық күші және жоғары қарай T₁ керілу күші әсер етеді, m₂ жүгіне — төмен m₂g және жоғары T₂. Егер m₂ > m₁ болса, оң жақ жүк төмен түседі, сол жақ жүк көтеріледі: m₁a = T₁ − m₁g, m₂a = m₂g − T₂. Салмақсыз блок үшін T₁ = T₂ = T. Теңдеулерді қосамыз, сонда керілу күші қысқарады: (m₁ + m₂)a = (m₂ − m₁)g.

Неге a g-дан кіші. Жүйені тек ауырлық күштерінің айырмасы (m₂ − m₁)g үдетеді, ал үдетуге екі масса бірге қарсылық көрсетеді: m₁ + m₂. Сондықтан a = (m₂ − m₁)g / (m₁ + m₂). m₂ = m₁ болғанда үдеу нөлге тең: жүктерді итерсең, олар бірқалыпты қозғалады, бірақ әрқайсысына күштер әсер етеді. Бұл — Ньютонның бірінші заңы: күштер теңгерілген, жылдамдық өзгермейді. Егер m₂ массасы m₁-ден әлдеқайда ауыр болса, үдеу g-ға жақындайды, бірақ оған ешқашан жетпейді. Бұл тәуелділікті үшінші a(m₂) графигі көрсетеді.

Жіптің керілу күші. Жіп екі жүкті де олардың біреуінің салмағына тең күшпен тарта алмайды. a мәнін қойсақ: T = 2m₁m₂g / (m₁ + m₂). Бұл мән әрқашан m₁g мен m₂g арасында жатады: төмен түсетін жүкті жіп оның салмағынан әлсіз тартады (T < m₂g), сондықтан ол төмен қарай үдейді, ал көтерілетін жүкті жіп оның салмағынан күштірек тартады (T > m₁g), сондықтан ол жоғары қарай үдейді. Симуляторда күш нұсқамалары бір масштабта салынған — көгілдір T мен қызыл mg нұсқамаларының ұзындығын салыстыр.

Үстелдегі білеуше. Екінші режимде m₁ білеушесі горизонталь үстелде жатыр, ал m₂ жүгі үстелдің шетіндегі блоктан асырылған жіпке ілулі тұр. Білеушенің ауырлық күшін тіректің реакция күші N = m₁g теңгереді, жүйені m₂g салмағы үдетеді, ал сырғанау үйкеліс күші μN = μm₁g тежейді: a = (m₂ − μm₁)g / (m₁ + m₂). Егер m₂g ≤ μm₁g болса, білеуше мүлдем қозғалмайды. Бұл жағдайда тыныштық үйкеліс күші μm₁g емес, дәл m₂g-ға тең: тыныштық үйкелісі түсірілген күшке «бейімделеді» және тек шекті жағдайда μN-ге жетеді.

Блоктың массасы. Нақты блокты да айналдыру керек. M массалы біртекті диск айналғанда жүйеге M/2 масса қосылғандай әрекет етеді, сондықтан a = (m₂ − m₁)g / (m₁ + m₂ + M/2). Блоктың екі жағындағы керілу күштері әртүрлі болады: T₂ − T₁ = (M/2)·a. Блокты айналдыратын күш моментін дәл осы керілу күштерінің айырмасы тудырады. Блоктың массасын қосып, «Өлшеулер» қойындысында T₁ мен T₂ қалай ажырағанын қара.

Стробоскоп және Галилей ережесі. Жүк тыныштықтан бастап бірқалыпты үдемелі қозғалады, сондықтан жол s = at²/2 заңымен өседі. Тең әрі бірінен соң бірі келетін уақыт аралықтарында дене жүрген кесінділер тақ сандар сияқты қатынаста болады: 1 : 3 : 5 : 7 … Бұл ережені Галилей ашқан. Ол массаларға да, g-ға да, тіпті планетаға да тәуелді емес, бірақ жүктерге бастапқы v₀ итеру берілсе, бұзылады. Өзің байқап көр.

Не істеп көруге болады. 1) Массаларды теңестіріп, v₀ бер — бірқалыпты қозғалыс. 2) Ауыр жүкті жоғары итер: жылдамдық жоғары, ал үдеу төмен бағытталған, жүк тоқтап, кері қозғалады. 3) Тәжірибені Айға көшір: үдеу Айдағы g Жердегіден неше есе кіші болса, сонша есе кемиді, ал a/g қатынасы өзгермейді. 4) Үстелде білеуше әрең қозғалатын μ мәнін тап: m₂ = μm₁.