Идеал газдың ішкі энергиясы: бір, екі және үш атомды газ

Бір температурадағы гелий, оттегі және су буы бар үш бірдей ыдыс. Молекулалар ұшып, айналады, ал олардың түсі энергиясын көрсетеді. Үш газға бірдей жылу мөлшерін бер де, қайсысы көбірек қызатынын көр, содан кейін бір газды таңдап, оның молекуласының энергиясы қандай «қозғалыс тәсілдерінен» құралатынын қара.

молекула түсі — оның энергиясы: көк — орташадан аз, қызыл — көп → 1–3ілгерілемелі еркіндік дәрежелері ↻ 4–6айналмалы еркіндік дәрежелері

Сахнадағы молекулалардың жылдамдығы нақтыға пропорционал (1000 м/с → секундына 1 бөлік), айналу шартты түрде баяулатылған. Тізімнен бір газды таңда — ыдыстың жанында еркіндік дәрежелері нөмірленген үлкейтілген молекула пайда болады.

U неден тұрады

Ішкі энергияның температураға тәуелділігі: U(T)

Газ

Q жылу мөлшері 1000 Дж

T температура (бәріне беру) 300 K

ν зат мөлшері 1.0 моль

Молекулалар қозғалысын баяулату

Өзіңді тексер

Ыдыстар қозғалмайтын поршеньдермен жабылған (V = const), сондықтан барлық жылу ішкі энергияның өзгеруіне жұмсалады. Қыздырғыштар бірдей: салыстыру режимінде әр газ бірдей Q алады. Молекула ішіндегі атомдардың тербелістері ескерілмейді — қалыпты температурада олар қозбайды.

Идеал газдың ішкі энергиясы — оның молекулаларының қосынды кинетикалық энергиясы: U = (i/2)·ν·R·T. Молекуланың әрбір еркіндік дәрежесіне бірдей ½kT энергия келеді, ал еркіндік дәрежелері бір атомды молекулада 3, екі атомдыда 5, үш атомдыда 6. Сондықтан бір температурада үш атомды газдың U-ы бір атомдыдан екі есе көп, ал бірдей жылу мөлшері бір атомды газды ең көп қыздырады.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Идеал газдың ішкі энергиясы

$$U = \frac{i}{2}\,\nu R T = \frac{i}{2}\,\frac{m}{M}\,R T$$

Идеал газдың ішкі энергиясы молекуланың еркіндік дәрежелерінің санына i, зат мөлшеріне ν және абсолют температураға T пропорционал

▶ Толық түсіндірме

Идеал газ молекулалары қашықтықта тартылмайды да, тебілмейді де, сондықтан барлық ішкі энергия — кинетикалық. U тек температураға тәуелді: изотермиялық процесте қысым мен көлем қалай өзгерсе де, идеал газдың ішкі энергиясы өзгермейді.

Мысал: 300 K-дегі 1 моль гелий: U = 1,5·1·8,31·300 ≈ 3,7 кДж. Сол температурадағы сонша моль оттегі: U = 2,5·8,31·300 ≈ 6,2 кДж, су буы: U = 3·8,31·300 ≈ 7,5 кДж. U(T) графигінде бұл еңістері (i/2)·ν·R үш түзу.

Молекуланың еркіндік дәрежелерінің саны

$$i = i_{\text{пост}} + i_{\text{вращ}}: \qquad 3 = 3 + 0, \quad 5 = 3 + 2, \quad 6 = 3 + 3$$

Бір атомды молекула — i = 3, екі атомды (және CO₂ сияқты сызықты) — i = 5, сызықты емес үш атомды және көп атомды — i = 6

▶ Толық түсіндірме

Кез келген молекула үш ось бойымен ілгерілемелі қозғала алады — бұл үш еркіндік дәрежесі. Айналмалы еркіндік дәрежелері молекуланың оське қатысты елеулі инерция моменті болғанда қосылады. Бір атомды молекуланың инерция моменті өте аз, айналу есепке алынбайды. Екі атомдыда байланысқа перпендикуляр екі ось бар, ал байланыстың өзін айнала инерция моменті дерлік нөл — сондықтан айналмалы дәреже екеу. Сызықты емес молекуланың үш айналу осі бар.

Симуляторда бір газды таңдап, үлкейтілген молекулаға қара: жасыл 1–3 бағдаршалар — ілгерілемелі қозғалыс, қызғылт сары сақиналар — айналу, ал екі атомды молекулада байланыс осін айналған сұр сақина сызылған: ол есептелмейді.

Энергияның еркіндік дәрежелері бойынша тең бөлінуі

$$\langle \varepsilon \rangle = \frac{i}{2}\,k T, \qquad \langle \varepsilon_{\text{пост}} \rangle = \frac{3}{2}\,k T = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2}$$

Әрбір еркіндік дәрежесіне орта есеппен ½kT энергия келеді; бір температурада барлық газ молекулаларының ілгерілемелі қозғалысының орташа энергиясы бірдей

▶ Толық түсіндірме

k = 1,38·10⁻²³ Дж/К — Больцман тұрақтысы, R = k·N_A. 300 K-де бір еркіндік дәрежесіне ½kT ≈ 2,07·10⁻²¹ Дж келеді, ал гелий молекуласы орта есеппен 6,2·10⁻²¹ Дж, оттегі — 10,4·10⁻²¹ Дж, су — 12,4·10⁻²¹ Дж тасиды.

Ілгерілемелі энергия бәрінде бірдей, бірақ жылдамдықтар әртүрлі: v_кв = √(3RT/M). 300 K-де гелий молекулалары (M = 4 г/моль) шамамен 1370 м/с, ал оттегі (M = 32 г/моль) шамамен 480 м/с жылдамдықпен ұшады. Анимацияда гелий байқалып «жылдамырақ», бірақ молекулалардың ілгерілемелі энергиясы бірдей.

Ішкі энергияның өзгерісі және V = const кезіндегі қыздыру

$$\Delta U = \frac{i}{2}\,\nu R\,\Delta T, \qquad Q = \Delta U \;\Rightarrow\; \Delta T = \frac{2Q}{i\,\nu R}, \qquad C_V = \frac{i}{2} R$$

Тұрақты көлемде газ жұмыс атқармайды, және алынған барлық жылу ішкі энергияны арттыруға жұмсалады; i неғұрлым үлкен болса, қызу соғұрлым аз

▶ Толық түсіндірме

Термодинамиканың бірінші заңы бойынша Q = ΔU + A. Поршень бекітілген, жұмыс A = 0, сондықтан Q = ΔU. Мысал: әр газға (ν = 1 моль) Q = 1000 Дж берілді. Гелий ΔT = 2·1000/(3·8,31) ≈ 80 K-ге, оттегі 48 K-ге, су буы 40 K-ге қызады.

C_V = (i/2)·R — тұрақты көлемдегі молярлық жылу сыйымдылығы: бір атомды газдарда 12,5 Дж/(моль·К), екі атомдыларда 20,8, үш атомдыларда 24,9. Молекуланың энергия жинайтын «тәсілдері» неғұрлым көп болса, температураны 1 K-ге көтеруге соғұрлым көп жылу керек.

Ішкі энергия қысым мен көлем арқылы

$$pV = \nu R T \;\Rightarrow\; U = \frac{i}{2}\,p V$$

Менделеев–Клапейрон теңдеуін ескере отырып, ішкі энергияны газдың қысымы мен көлемі бойынша табуға болады

▶ Толық түсіндірме

Бұл түрі температура емес, p және V берілген есептерде ыңғайлы. Мысал: көлемі 10 л баллонда 200 кПа қысымда гелий бар. U = 1,5·2·10⁵·10⁻² = 3 кДж. Егер сол баллонда сол қысымда оттегі болса, U = 2,5·2·10³ = 5 кДж.

Осыдан изобаралық ұлғаюда (p = const) ішкі энергия көлемге пропорционал, ал изохоралық қыздыруда (V = const) қысымға пропорционал өсетіні көрінеді.

Идеал газ — молекулалары бір-бірімен қашықтықта әрекеттеспейтін модель, сондықтан оларда өзара әрекеттесудің потенциалдық энергиясы жоқ. Мұндай газдың ішкі энергиясы — барлық молекулалардың кинетикалық энергияларының қосындысы ғана. Ол тек температура мен зат мөлшеріне тәуелді: U = (i/2)·ν·R·T, мұндағы ν — моль саны, R = 8,31 Дж/(моль·К), ал i — молекуланың еркіндік дәрежелерінің саны.

Еркіндік дәрежелері — молекуланың қозғалып, энергия жинай алатын тәуелсіз «тәсілдері». Бір атомды молекула (He, Ne, Ar) тек x, y, z үш осі бойымен ұша алады: i = 3. Екі атомды молекула (H₂, N₂, O₂) оған қоса байланысқа перпендикуляр екі осьті айнала айналады. Байланыс осінің өзін айнала айналу энергия дерлік тасымайды, сондықтан i = 3 + 2 = 5. Сызықты емес үш атомды молекула, мысалы H₂O, үш осьтің бәрін айнала айналады: i = 3 + 3 = 6. Симуляторда бір газды таңда — ыдыстың жанында ілгерілемелі қозғалыс бағдаршалары мен айналу сақиналары бар үлкейтілген молекула пайда болады, әр еркіндік дәрежесі нөмірленген.

Энергияның тең бөліну теоремасы бойынша әрбір еркіндік дәрежесіне орта есеппен ½kT энергия келеді. Демек, молекуланың орташа энергиясы ⟨ε⟩ = (i/2)·k·T, ал ілгерілемелі қозғалыстың орташа энергиясы барлық газдарда бірдей және (3/2)·k·T-ға тең. Бұл ретте жеңіл гелий молекулалары ауыр оттегі молекулаларынан жылдамырақ ұшады: v = √(3RT/M). Мұны анимациядан да, өлшеулер панелінен де көруге болады. «U неден тұрады» жолағы энергияны ½νRT блоктарына бөледі: жасылдары — ілгерілемелі қозғалыс, қызғылт сарылары — айналу.

Салыстыру режимінде «Q беру» батырмасын бас. Ыдыстар қозғалмайтын поршеньдермен жабылған (V = const), сондықтан барлық жылу ішкі энергияны арттыруға жұмсалады: Q = ΔU = (i/2)·ν·R·ΔT. Гелийде жылу тек ілгерілемелі қозғалысқа жұмсалады, және оның температурасы бәрінен көп өседі. Оттегі мен су буында энергияның бір бөлігі молекулалардың айналуына кетеді, сондықтан олар азырақ қызады: ΔT i-ге кері пропорционал. Тұзаққа назар аудар: CO₂ та үш атомды, бірақ оның молекуласы сызықты, және оның i = 5. Молекула ішіндегі атомдардың тербелістері қалыпты температурада қозбайды және мектеп моделінде ескерілмейді. «Өзіңді тексер» белгісі тәжірибе нәтижесін болжауды, содан кейін оны модельде тексеруді ұсынады.