Доплер эффектісі және дыбыс тосқауылы

Дыбыс көзі бар ұшақ бақылаушының жанынан ұшып өтеді: сфералық толқын фронттарының алдында сығылып, артында созылғанын көр, ұшып өткенде дыбыстың төмендегенін тыңда — содан кейін дыбыс жылдамдығына дейін үдеп, дыбыс тосқауылын бұз. v > c болғанда фронттар Мах конусын құрайды, ал бақылаушы дыбыстық соққыны естиді.

ауаның сығылуы сиретілу толқын жалдары (фронттар); күмбездер — сол фронттар көлемде

Ұшу сызығы бойынша қима

Бақылаушыдағы сигнал мен жиілік

Көздің жылдамдығы

v көздің жылдамдығы 170 · M = 0.50

f₀ көздің жиілігі 340 · λ₀ = 1.00

v_н бақылаушының жылдамдығы 0

Ұшу осіне проекция: «+» — көзбен бір бағытта, «−» — қарсы

Уақытты баяулату

Көлемдегі фронттар (күмбездер)

Мах конусы

1 м тор

Өзіңді тексер

Жалдар — траекторияның дәл нүктелерінен шыққан, радиусы c·(t − tₙ) сфералар. Бақылаушыдағы жиілік дыбыстың шыққан сәті арқылы есептеледі, сондықтан сандар формулалармен сәйкес келеді және баяулатуға тәуелді емес. c = 340 м/с.

M = v / c

Мах саны

λ₀ = c / f₀

қозғалмайтын көздің толқын ұзындығы

λ₁ = (c − v) / f₀

көздің алдында

λ₂ = (c + v) / f₀

көздің артында

f₀(c − v_н) / (c − v)

көз жақындайды

f₀(c + v_н) / (c + v)

көз алыстайды

T₀ = 1 / f₀

sin α = c / v

Мах конусының бұрышы

Бақылаушыдағы дыбыстық соққы сәті

Бақылаушы қазір

f_н (дәл)

шығару сәтіндегі бұрыш

f₀(c − v_нcosθ) / (c − v cosθ)

R, τ = R / c

дыбыстың шығару нүктесінен жүрген жолы және жолдағы уақыты

Доплер эффектісі — толқын көзі мен бақылаушы бір-біріне қатысты қозғалғанда бақылаушы еститін жиіліктің (дыбыс биіктігінің) өзгеруі. Көздің өзі әдеттегідей дыбыстайды, ал ауадағы дыбыс жылдамдығы c = 340 м/с болып қалады. Жалдар арасындағы қашықтық өзгереді: көз өз толқындарын қуып жетсе, олар сығылып, жиірек келеді — дыбыс жоғарылайды; алыстаса, созылады — дыбыс төмендейді. Сондықтан жедел жәрдем сиренасы көлік саған қарай келе жатқанда жіңішкерек естіліп, жаныңнан өткен сәтте кенет төмен «сырғиды». Бұл құбылысты 1842 жылы австриялық физик Кристиан Доплер болжаған, ал 1845 жылы голландиялық Бейс-Баллот оны тексерген: поездың ашық платформасындағы кернейшілер бір нотаны созып тартқанда, перронда тұрған абсолютті естуі бар музыканттар поезд жақындағанда дыбыстың жоғарылағанын, алыстағанда төмендегенін естіген. Бүгінде Доплер эффектісіне полицияның жылдамдық радарлары, қан ағысын тексеретін УДЗ және жұлдыздар мен галактикалардың жылдамдығын спектрлерінің ығысуы бойынша өлшеу негізделген. Көз дыбыстан жылдам ұшса, толқындар алға мүлде шыға алмайды: олар Мах конусына жиналады да, бақылаушы күшейіп келе жатқан гуілдің орнына қатты гүрсілді — дыбыстық соққыны естиді.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Жылдамдық, толқын ұзындығы және жиілік

$$v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}, \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \omega = 2\pi f$$

Бір период ішінде толқын дәл бір толқын ұзындығын жүреді — сондықтан v = λf

▶ Толық түсіндірме

Бір T тербеліс уақытында төбе көзден λ қашықтыққа кетеді, сондықтан v = λ/T = λf. Симуляторда толқын жылдамдығы берілген (v = 25 см/с), сондықтан λ мен f-тің біреуі ғана еркін: жиілік артса, толқын ұзындығы қысқарады. Таблодағы сандар дәл осы формуламен байланысты: λ = 10 см және f = 2,5 Гц v = 25 см/с береді. k = 2π/λ толқындық саны жолдың әр сантиметріне қанша радиан фаза келетінін, ал ω = 2πf циклдік жиілік әр секундқа қанша келетінін көрсетеді; толқын формуласында синус астында тұрғандары осы k мен ω.

Қозғалыстағы көз

$$\lambda' = \frac{c \mp v}{f_0}, \qquad f = f_0\,\frac{c}{c \mp v}$$

Жоғарғы таңба — көз жақындайды (алдында), төменгі — алыстайды (артында)

▶ Толық түсіндірме

T₀ = 1/f₀ период ішінде жал алға cT₀-ға, ал көз оның артынан vT₀-ға жылжиды. Келесі жал жаңа нүктеден шығады, сондықтан алдында жалдар арасы λ' = (c − v)T₀, артында — (c + v)T₀. Жалдар бақылаушыға c жылдамдықпен жетеді, демек, ол f = c/λ' = f₀·c/(c ∓ v) жиілікті естиді.

Мысал: f₀ = 340 Гц, v = 170 м/с (0.5c). Алдында λ' = 170/340 = 0.5 м, f = 680 Гц; артында λ' = 1.5 м, f ≈ 227 Гц. Жоғарылау мен төмендеу симметриялы емес: v → c кезде алдыңғы жиілік шексіз өседі, ал артқысы тек f₀/2-ге ұмтылады. Формула тек v < c кезде орындалады: v ≥ c болғанда көздің алдында толқын жоқ.

Қозғалыстағы бақылаушы

$$f = f_0\,\frac{c \pm v_н}{c}$$

«+» — бақылаушы толқындарға қарсы, «−» — олардан қашады

▶ Толық түсіндірме

Көз тыныштықта болса, ауадағы толқындар симметриялы және λ = c/f₀ өзгермейді. Бірақ қарсы жүгірген бақылаушы жалдарды өзіне қатысты c + vₙ жылдамдықпен кездестіреді, сондықтан секундына (c + vₙ)/λ = f₀(c + vₙ)/c жал келеді. Қашқанда ол оларды сирек кездестіреді.

Маңыздысы: мұнда толқын ұзындығы емес, тек кездесу жиілігі өзгереді. Симуляторда v = 0 қойып, vₙ жүгірткісін жылжыт — еденнегі шеңберлер концентрлі болып қалады, ал f(t) графигіндегі жиілік өзгереді.

Доплер эффектісінің жалпы формуласы

$$f = f_0\,\frac{c - v_н\cos\theta}{c - v\cos\theta}$$

θ — жылдамдықтар мен «шығару нүктесі → бақылаушы» бағыты арасындағы бұрыш; түзуде cos θ = ±1

▶ Толық түсіндірме

Эффектіге тек дыбыс шығару нүктесінен бақылаушыға баратын сызыққа түсірілген жылдамдық проекциялары әсер етеді. Көз алыста алдында болса, cos θ = 1 және формула f₀(c − vₙ)/(c − v)-ға айналады; алыста артында болса, cos θ = −1 және f = f₀(c + vₙ)/(c + v). θ = 90° кезінде (дыбыс көз дәл қарсыда тұрғанда шыққан) жиілік f₀-ге тең — бірақ бақылаушы оны кейін, ұшақ өтіп кеткенде естиді.

Назар аудар: бұрыш дыбыс естілген сәтте емес, шыққан сәтте алынады. «Өлшемдер» қойындысы θ-ны көрсетеді және осы формуладан шыққан сан f_н дәл жиілігімен сәйкес келетінін тексереді.

Мах саны және Мах конусы

$$M = \frac{v}{c}, \qquad \sin\alpha = \frac{c}{v} = \frac{1}{M}\quad (M > 1)$$

Дыбыстан жылдам ұшқанда фронттар жартылай бұрышы α болатын конус құрайды

▶ Толық түсіндірме

t уақыт ішінде басында шыққан сфера ct радиусқа дейін кеңейеді, ал көз vt қашықтыққа ұшып кетеді. v > c болса, көз өз сфераларының бәрінен тыс қалады, ал олардың ортақ жанамасы — төбесі көзде орналасқан конус. Тікбұрышты үшбұрыштан sin α = ct/(vt) = 1/M. M = 1.5 кезінде α ≈ 41.8°, M = 2 кезінде α = 30°: ұшу неғұрлым жылдам болса, конус соғұрлым сүйір.

Конус бетінде көптеген жалдардың сығылулары бір мезетте келеді — бұл соққы толқыны. Конус бақылаушы арқылы өткенде дыбыстық соққы естіледі. Ол тек «тосқауылды бұзу» сәтінде емес, бүкіл дыбыстан жылдам ұшу кезінде ұшақпен бірге жүреді. Симуляторда соққы сәті дәл есептеледі: ұшу жолынан |y| қашықтықтағы бақылаушыға конус ұшақ √(M² − 1)·|y| алға кеткенде жетеді.

Дыбыс биіктігі неге өзгереді. Дыбыс көзі толқын жалдарын бірдей T₀ = 1/f₀ уақыт аралықтарымен шығарады, ал әр жал шығарылған сәтте көз тұрған нүктеден c = 340 м/с дыбыс жылдамдығымен тарайды. Дыбыс жылдамдығын көз емес, орта анықтайды. Көз қозғалса, сфералардың центрлері ығысады: алдында жалдар бір-бірін қуып жетеді де, толқын ұзындығы қысқарады, λ = (c − v)/f₀; артында олар созылады, λ = (c + v)/f₀. Қозғалмайтын бақылаушыға жалдар сол c жылдамдықпен жетеді, сондықтан ол f = c/λ жиілікті естиді: көз жақындағанда f = f₀·c/(c − v), алыстағанда f = f₀·c/(c + v). Бұл — Доплер эффектісі, өтіп бара жатқан жедел жәрдем көлігінің таныс «ииии-уууу» дыбысы.

Симулятор не көрсетеді. Еденде — ұшу жазықтығындағы ауа қысымы: қызғылт сары — сығылу, көк — сирету, ашық шеңберлер — жалдар. Еденнің үстінде сол жалдар көлемде, мөлдір күмбездер түрінде көрсетілген. Жасыл шар — бақылаушы; оны еденді шерту арқылы жылжытуға болады. Оған жеткен әр жал жарқ етеді, сондықтан бақылаушыдағы жарқылдар көздегіден жиірек не сирек екені көрінеді. Сахнаның астында — ұшу сызығы бойынша қима: алдыңғы және артқы λ өлшемдері бар p(x) қысым қисығы және толқын бағыты бойымен тербелетін ауа бөлшектерінің қатарлары (дыбыс — бойлық толқын). Төменірек — «көз не шығарады / құлаққа не жетеді» осциллограммасы және f₀·c/(c − v), f₀·c/(c + v) үзік сызықтары бар бақылаушыдағы f(t) жиілік графигі. Уақыт 100 есе баяулатылған, бірақ барлық сан нақты: жалдардың орны мен жиілік дәл формулалармен есептеледі.

Бақылаушы да қозғала алады. Көз тұрса, ал бақылаушы оған қарай vₙ жылдамдықпен жүгірсе, ауадағы толқын ұзындығы өзгермейді, бірақ жалдар жиірек кездеседі: f = f₀·(c + vₙ)/c. Жалпы жағдайда f = f₀·(c − vₙ·cos θ)/(c − v·cos θ), мұндағы θ — ұшу бағыты мен «шығару нүктесі → бақылаушы» түзуі арасындағы бұрыш. «Өлшемдер» қойындысы дәл жиілікті және оның осы формуламен тексерілуін көрсетеді. Бақылаушы ұшу жолынан шетте тұрса, жиілік ұшып өту кезінде шыққан дыбыс оған жеткен сәтте жоғарыдан төменге қарай бірқалыпты өзгереді.

Дыбыс тосқауылы және Мах конусы. Мах саны M = v/c көздің дыбыстан неше есе жылдам екенін көрсетеді. M = 1 болғанда көз өз жалдарымен қатар ұшады: алдында олар жоғары қысымды бір қабырғаға — соққы толқынына қосылады. M > 1 болғанда көз өз дыбысын басып озады, ал фронттар sin α = 1/M бұрышты конус құрайды. Конустың алдында — тыныштық аймағы: дыбыстан жылдам ұшақ алдымен ұшып өтеді, тек содан кейін бақылаушыға конус жетеді — қатты гүрс, дыбыстық соққы. Соққыдан кейін бақылаушы бірден екі дыбыс естиді: әр түрлі сәтте шыққан толқындар бірге келеді.

Көріп көр. 1) «0.5c» батырмасын басып, алдыңғы және артқы λ-ны салыстыр: f₀ = 340 Гц кезінде 0.50 м және 1.50 м, ал жиіліктер — 680 және 227 Гц. 2) «Бақылаушыны тыңдау» батырмасын қосып, ұшып өткенде дыбыстың төмендегенін тыңда; «Нақты уақыттағы ұшып өту» сол ұшуды баяулатусыз ойнатады. 3) «Тосқауыл арқылы үдеу» батырмасын басып, сығылған фронттардан соққы толқынының қалай туатынын көр. 4) «1.5c» кезінде конус бұрышын өлше: sin α = 1/1.5, α ≈ 41.8°. 5) «Өзіңді тексер» режимін қосып, тәжірибені көрмей тұрып нәтижесін болжа.