Толқындардың интерференциясы

Екі таяқша суды бір ырғақпен ұрады, әрқайсысынан дөңгелек толқындар тарайды. Төбе төбемен кездескен жерде су арпалысады; төбе ойыспен кездескен жерде тыныш тұрады. Көздер мен сынақ нүктесін сүйре, толқын ұзындығы мен фаза ығысуын өзгерт те, «тыныш» және «толқынды» жолақтардың қайдан шығатынын көр.

× баяулату: солға тартсаң — баяуырақ ×0,50

күшею сызықтары (максимумдар) сөну сызықтары (түйіндер) артық жол Δr S₁-ден r₁ жолы (моншақтар — әр λ сайын) S₂-ден r₂ жолы су: ашығырақ — төбе, қараңғырақ — ойыс, тегіс — тыныштық

P нүктесінде не болып жатыр

P сынағышын су бойымен сүйре. Сол жақта — екі айналатын көрсеткі (фазорлар), оң жақта — осы нүктеде судың қалай тербелетіні.

Экран не көрсетеді

Ваннаның оң жағындағы экран әр y биіктігінің қаншалықты жарық екенін көрсетеді. Экранды солға-оңға жылжытып, жолақтардың қалай өзгеретінін көр.

30 секундта түсіну

Әр көз — өз толқыны

Екі таяқша суды бір ырғақпен ұрып, дөңгелек толқындар шығарады. Әр толқын жеке өзі — қарапайым шеңберлер: төбе, ойыс, төбе… «Бір толқын» тәжірибесін қосып, көз жеткіз.

Толқындар қосылады

Судың әр нүктесінде екі толқыннан келген ығысулар жай ғана қосылады. Төбе + төбе = екі еселі төбе (күшею). Төбе + ойыс = нөл (сөну): екі толқын да осында жеткенімен, су тыныш тұрады.

Бәрін жол айырмасы шешеді

Егер бір толқын нүктеге екіншісінен бүтін сан толқын ұзындығына артық жол жүрсе (Δr = mλ), олар бір фазада келеді — күшею. Ал бір жарым, екі жарым… (Δr = (m + ½)λ) артық жүрсе — қарама-қарсы фазада, сөну. Сондықтан «толқынды» және «тыныш» жерлер гиперболалар бойымен орналасады.

Өзің байқап көр

Алдымен тек S₁-ді қос, содан кейін S₂-ні қос: «тыныш» сызықтар пайда болады. Көз біреу болғанда олар жоқ.
P сынағышын су бойымен сүйре: сары сызықта A амплитудасы екі есе артады, көк үзік сызықта нөлге дейін кемиді.
λ толқын ұзындығын арттыр: жолақтар кеңейіп, азаяды. Кемітсең — жіңішке әрі жиі болады.
Көздерді алшақтат (d): жолақтар көбейеді. d-ны λ-дан кіші ет — бір кең максимум ғана қалады.
Δφ = π қой: симметрия осінде енді тыныштық, бұрын максимум болған жердің бәрі енді минимум.
A₂-ні азайт: түйіндер енді толық тыныш болмайды — күштірек толқынды әлсізірегі толық сөндіре алмайды.

Өмірде қайда кездеседі

Шуды басатын құлаққап: микрофон шуды тыңдайды, ал динамик дәл сондай дыбысты қарама-қарсы фазада шығарады — құлақта тыныштық қалады.
Wi-Fi мен радионың «өлі аймақтары», концерт залындағы «саңырау» жерлер: онда әртүрлі жолмен келген толқындар бір-бірін сөндіреді.
Радар мен 5G: фаза ығысуы аздап өзгертілген антенналар торы антенналардың өзін бұрмай-ақ сәулені бұрады.
Сабын көпіршігі мен судағы майлы қабықшаның құлпыруы: қабықшаның екі бетінен шағылған жарық интерференцияланады, ал түсі қалыңдыққа байланысты.
Юнгтің екі саңылаулы тәжірибесі — жарықтың, кейін электрондардың да толқындық табиғатының дәлелі: жолақтар бөлшектер бір-бірлеп ұшқанда да пайда болады.

Режим

Бір басумен тәжірибелер

λ толқын ұзындығы 10.0

d көздер арасы

Δφ S₂ S₁-ден артта қалады 0

A₁ S₁ амплитудасы 1.00

A₂ S₂ амплитудасы 1.00

Физика

қашықтықпен толқынның әлсіреуі, 1/√r

Көрсету

күшею сызықтары (максимумдар) және олардың m нөмірлері

сөну сызықтары (түйіндер)

S₁→P және S₂→P жолдары, λ сызғышымен

толқын төбелері (шеңберлер)

алыс аймақ сәулесі θₘ (d·sinθ = mλ)

10 см торы

Экрандағы кез келген сан дәл формулалармен есептеледі, қадамдап емес: сурет кадр жиілігіне де, «көрсету жылдамдығына» да тәуелді емес. Толқындар ваннаның қабырғаларынан шағылмайды (жағалау жұтады). Көздер бір жиіліктегі синусоидалы және фазалар айырмасы тұрақты — яғни когерентті.

m максимум реті m = 1

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Жылдамдық, толқын ұзындығы және жиілік

$$v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}, \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \omega = 2\pi f$$

Бір период ішінде толқын дәл бір толқын ұзындығын жүреді — сондықтан v = λf

▶ Толық түсіндірме

Бір T тербеліс уақытында төбе көзден λ қашықтыққа кетеді, сондықтан v = λ/T = λf. Симуляторда толқын жылдамдығы берілген (v = 25 см/с), сондықтан λ мен f-тің біреуі ғана еркін: жиілік артса, толқын ұзындығы қысқарады. Таблодағы сандар дәл осы формуламен байланысты: λ = 10 см және f = 2,5 Гц v = 25 см/с береді. k = 2π/λ толқындық саны жолдың әр сантиметріне қанша радиан фаза келетінін, ал ω = 2πf циклдік жиілік әр секундқа қанша келетінін көрсетеді; толқын формуласында синус астында тұрғандары осы k мен ω.

Екі көздің толқындарын қосу

$$u = A_1\sin(\omega t - k r_1) + A_2\sin(\omega t - k r_2 - \Delta\varphi)$$

Нүктедегі судың ығысуы — когерентті көздерден шыққан екі дөңгелек толқынның қосындысы

▶ Толық түсіндірме

Әр көзден су бойымен дөңгелек толқын жүгіреді. ωt − kr фазасы: r қашықтықтағы су көздің тербелісін r/v кешігумен қайталайды дегенді білдіреді. −Δφ қосылғышы S₂-нің S₁-ден фаза бойынша Δφ артта қалатынын көрсетеді. Суперпозиция принципі бойынша ауытқулар жай ғана қосылады. Толқын t = 0 сәтінде «қосылады», оның фронты v жылдамдықпен жүгіреді: фронт жетпейінше су тыныш. Нақты ваннада дөңгелек толқынның амплитудасы 1/√r заңымен кемиді — энергия ұзындығы 2πr шеңберге таралады. Бұл түзету «әлсіреу» құсбелгісімен қосылады: сонда алыста a₁ ≠ a₂ болады да, түйіндерде нөл емес, |a₁ − a₂| қалады.

Жол айырмасы және фазалар айырмасы

$$\psi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r - \Delta\varphi, \qquad \Delta r = r_1 - r_2$$

Жолдың әр артық сантиметрі фазаны 2π/λ-ға ығыстырады; көздердің ығысуы үстіне қосылады

▶ Толық түсіндірме

Бір жол айырмасын сантиметрмен де, радианмен де сипаттауға болады: Δr = λ жолы — фазаның дәл бір айналымы (2π). Сондықтан нүктеде S₁ және S₂ толқындары ψ = 2πΔr/λ − Δφ фазаға ығысқан: бірінші қосылғышты геометрия (нүктенің орны), екіншісін көздер (S₂ қаншалықты артта қалады) береді. Айналатын көрсеткілері бар диаграммада ψ — көрсеткілер арасындағы бұрыш, ол уақытқа байланысты өзгермейді, өйткені екі көрсеткі де бірдей жиілікпен айналады. ψ 2π-ге еселі болғанда көрсеткілер бір жаққа қарайды (күшею), ψ = π, 3π… болғанда — қарама-қарсы жаққа (сөну).

Максимум және минимум шарттары

$$\Delta r = \left(m + \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\right)\lambda \;\Rightarrow\; \max, \qquad \Delta r = \left(m + \frac12 + \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\right)\lambda \;\Rightarrow\; \min$$

Фазалары бірдей көздер үшін (Δφ = 0): Δr = mλ кезінде максимум, Δr = (m + ½)λ кезінде минимум

▶ Толық түсіндірме

Максимум — ψ = 2πm, минимум — ψ = (2m + 1)π; алдыңғы формуладан ψ-ді қойсақ, жол айырмасына қойылатын шарттарды аламыз. Δφ = 0 кезінде олар өте қарапайым: толқын ұзындығының бүтін саны — күшею, жарты саны — сөну. Жол айырмасы r₁ − r₂ = const бірдей нүктелер жиыны — фокустары көздерде болатын гипербола, сондықтан сахнадағы сары сызықтар (максимумдар) мен көк үзік сызықтар (минимумдар) — гиперболалар. Орталық m = 0 сызығы симметрия осінде жатыр. Сызықтар шексіз көп емес: |Δr| көздер арасындағы d қашықтықтан аспайды, сондықтан m шектеулі. Δφ ығысуы барлық сызықтарды бірден жылжытады; Δφ = π кезінде максимумдар мен минимумдар орындарын алмастырады.

Қосынды амплитудасы және интенсивтілік

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\psi}, \qquad I \propto A^2, \qquad \langle I\rangle \propto A_1^2 + A_2^2$$

Екі көрсеткі қосындысының ұзындығы; жарықтық амплитуда квадратына пропорционал, ал орташа жарықтық жарықтықтар қосындысына тең

▶ Толық түсіндірме

Жиілігі бірдей екі тербеліс сол жиіліктегі тербеліске қосылады, ал оның амплитудасы — ұзындықтары A₁ және A₂, арасындағы бұрышы ψ болатын екі вектор қосындысының ұзындығы (косинустар теоремасы). ψ = 0 кезінде көрсеткілер бір сызыққа қосылады, A = A₁ + A₂; ψ = π кезінде бір-біріне қарсы бағытталады, A = |A₁ − A₂|, ал амплитудалары тең болғанда су тыныш тұрады. Интенсивтілік A²-қа пропорционал, сондықтан максимумда ол жеке интенсивтіліктер қосындысынан (A₁ + A₂)²/(A₁² + A₂²) есе артық (амплитудалары тең болса — 2 есе), ал минимумда — кем. cos ψ-ді барлық фазалар бойынша орташалағанда ⟨I⟩ ∝ A₁² + A₂² шығады: интерференция энергияны жоқтан жасамайды да, жоймайды да, тек қайта таратады. Экран графигіндегі I₁ + I₂ үзік сызығы дәл осыны көрсетеді.

Максимумдар саны

$$N = 2\left\lfloor \frac{d}{\lambda} \right\rfloor + 1 \qquad (\Delta\varphi = 0)$$

Бір-бірінен d қашықтықтағы фазалары бірдей екі көз қанша күшею бағытын береді

▶ Толық түсіндірме

Жазықтықтың кез келген нүктесіндегі Δr = r₁ − r₂ жол айырмасы −d мен +d аралығында жатады. Максимумдар тек |mλ| ≤ d, яғни |m| ≤ d/λ кезінде ғана мүмкін. −⌊d/λ⌋-ден +⌊d/λ⌋-ге дейінгі бүтін m саны орталық m = 0-ді қосқанда 2⌊d/λ⌋ + 1 болады. λ = 10 см және d = 30 см кезінде: N = 2·3 + 1 = 7 (шеткі m = ±3 көздер сызығы бойымен кетеді). Егер d < λ болса, N = 1: алға бір кең максимум қалады, бүйір максимумдар жоқ. Δφ ≠ 0 болғанда формула өзгереді: |(m + Δφ/2π)λ| ≤ d болатын бүтін m-дерді санау керек — бұл сан «Өлшемдер» қойындысында көрсетілген.

Алыс аймақтағы максимум бағыты

$$d\sin\theta_m = \left(m + \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\right)\lambda$$

θ бұрышы симметрия осінен артта қалатын S₂ көзі жаққа қарай өлшенеді

▶ Толық түсіндірме

Көздерден алыста нүктеге баратын сәулелер дерлік параллель, ал жол айырмасы тек бағытқа байланысты: Δr ≈ d·sinθ. Оны максимум шартына теңестірсек, d·sinθ = (m + Δφ/2π)λ шығады. Δφ = 0 кезінде басты максимум m = 0 тура алға (θ = 0) бағытталады, қалғандары sinθ = mλ/d бұрыштарымен кетеді. Δφ ≠ 0 болғанда бүкіл желпуіш бұрылады: m = 0 үшін sinθ = Δφ·λ/(2πd). Фазалық антенналық тор осылай жұмыс істейді: антенналар арасындағы фаза ығысуын өзгерту арқылы радар немесе 5G сәулесін антенналардың өзін бұрмай-ақ бұрады. Мұны сахнада көру үшін «Сәуленің бұрылуы» тәжірибесін қосып, «алыс аймақ сәулесі» құсбелгісін қой.

Экрандағы жолақтар арасы

$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} \qquad (L \gg d)$$

Экран алыс және толқын ұзын болған сайын жолақтар кеңірек; көздер бір-бірінен алыс болған сайын — жіңішкерек

▶ Толық түсіндірме

L қашықтықтағы экранда m-ші максимумның координатасы y_m = L·tgθ_m. Кіші бұрыштарда tgθ ≈ sinθ = mλ/d, сондықтан y_m ≈ mλL/d, ал көрші максимумдар арасы Δy = λL/d. Формула жуық: экран алыс болғанда (L ≫ d) дәл. Симуляторда L/d әдетте 2 шамасында, сондықтан «Өлшемдер» қойындысында екі сан қатар тұр — суреттен алынған жолақ ені және формула бойынша; L/d артқан сайын (экранды алыстат, көздерді жақындат) олар жақсырақ сәйкес келеді. Дәл осы формула жарық үшін Юнгтің екі саңылаулы тәжірибесін сипаттайды, тек онда λ ≈ 500 нм, ал Δy — миллиметрдің үлесі.

Интерференция — толқындардың қосылуы. Ортаның әр нүктесінде ауытқу барлық көздерден келген ауытқулардың қосындысына тең: u = u₁ + u₂. Бәрін жол айырмасы Δr = |r₁ − r₂| шешеді — бір толқын екіншісінен қаншаға артық жол жүрді. Егер Δr толқын ұзындығының бүтін санына тең болса (Δr = mλ), төбе төбемен бірге келеді де, тербелістер күшейеді: амплитуда A = A₁ + A₂. Егер Δr жарты санға тең болса (Δr = (m + ½)λ), төбе ойыспен кездеседі де, толқындар бір-бірін сөндіреді: A = |A₁ − A₂|, ал амплитудалары тең болғанда су тыныш тұрады. Көздер когерентті болуы керек — жиілігі бірдей, фазалар айырмасы тұрақты, әйтпесе сурет «жылжып» кетеді де, жолақтар көрінбейді. Симулятор өрісті қадамдап емес, дәл формуламен есептейді: u = A₁·sin(ωt − k·r₁) + A₂·sin(ωt − k·r₂ − Δφ), мұнда k = 2π/λ, ω = 2πf, ал толқын жылдамдығы v = λ·f = 25 см/с. Алдымен көздерден шеңбер тәрізді фронттар тарайды («Жаңа тамшылар» батырмасы толқындарды қайта бастайды), содан кейін сурет бүкіл ваннаны толтырады. Сахнаның үш түрі бір өрісті әртүрлі көрсетеді: «Су» — жарықтандырылған бет (ашығырақ — төбе, қараңғырақ — ойыс, тегіс — түйін), «Түс» — u ығысуын түспен көрсетеді (жылы — жоғары, суық — төмен), «Интенсивтілік» — период бойынша орташаланған ⟨u²⟩ жарықтығы, яғни экран көретін нәрсе. Сары сызықтар — күшею орындары (максимумдар Δr = (m + Δφ/2π)λ), көк үзік сызықтар — сөну орындары (түйіндер); бұлар фокустары көздерде болатын гиперболалар. P сынақ нүктесі екі толқынның дәл өз нүктесінде не істеп жатқанын көрсетеді: жолдың қызыл бөлігі — «артық» жол Δr, сәулелердегі моншақтар толқын ұзындықтарын санайды, ал айналатын көрсеткілер (фазорлар) тербелістердің қалай қосылатынын көрсетеді: қосындының ұзындығы A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂·cos ψ), мұнда ψ = 2πΔr/λ − Δφ. Оң жақтағы экран I(y) жарықтығын көрсетеді: жолақтар, олардың m нөмірлері және интерференциясыз жарықтық — I₁ + I₂ үзік сызығы. Экран бойынша орташа мән осы үзік сызықпен сәйкес келеді: энергия жоғалмайды, минимумдардан максимумдарға қайта таралады. Δφ = 0 кезінде көздер арасындағы күшею бағыттарының саны N = 2⌊d/λ⌋ + 1; алыста олар d·sinθ = mλ бұрыштарымен кетеді, ал экрандағы жолақтар арасы Δy = λL/d (L ≫ d кезінде). d-ны арттырсаң — жолақтар көбейеді, λ-ны арттырсаң — кеңейеді; d < λ болса, бір кең максимум ғана қалады. Δφ фаза ығысуы бүкіл суретті жылжытады: Δφ = π кезінде максимумдар мен минимумдар орындарын алмастырады, ал аралық мәндер сәулені бұрады — радардың фазалық антенналық торлары осылай жұмыс істейді. «Квиз» және «Зертхана» режимдері түсінуді тексереді: зертханада толқын ұзындығы жасырын, оны түйіндердегі жол айырмасын өлшеп табу керек.