Закон радиоактивного распада

Перед тобой образец из тысячи радиоактивных ядер. Каждое распадается в случайный момент: вспыхивает, выбрасывает α- или β-частицу и меняет цвет, а счётчик Гейгера щёлкает. Предсказать, какое ядро распадётся следующим, нельзя, но за каждый период полураспада T распадается почти ровно половина ядер. Сравни ступенчатый график опыта с кривой N = N₀·2^(−t/T), уменьши число ядер до десяти и посмотри, как закон «расшатывается», а в режиме «Одно ядро» проверь, что у ядер нет возраста.

t = 0 T

Каждое ядро распадается в случайный момент: время его жизни разыгрывается по закону 2^(−t/T), и предсказать, какое ядро распадётся следующим, нельзя. Размеры ядер, скорости частиц и число нуклонов показаны схематично, время ускорено. Счётчик идеализирован — он регистрирует каждый распад.

Режим

Изотоп

N₀ начальное число ядер 1000

T длится на экране 5

Форма образца

Показывать вылетающие частицы

Звук счётчика Гейгера

Логарифмическая шкала N

Оставлять прошлые опыты на графике

Проверь себя

Сравни опыты с N₀ = 10 и N₀ = 5000: чем больше ядер, тем точнее ступенчатый график ложится на кривую N₀·2^(−t/T). В режиме «Одно ядро» убедись, что ядро не «стареет»: сколько бы оно ни прожило, вероятность распасться за следующий период T остаётся 50 %.

t в периодах T

t в реальном времени

N — осталось

N₀ − N — распалось

N / N₀ (опыт)

2^−t/T (теория)

T — период полураспада

τ = 1/λ = T/ln 2

λ = ln 2 / T

A = λN

Возраст ядра

Возраст ядра, в реальном времени

Вероятность распада за следующий период T: p = 1 − 2^−Δt/T

Измерено ядер

Прожили меньше T

Медиана времени жизни

Среднее время жизни (τ ≈ 1,44 T)

В 1896 году Анри Беккерель обнаружил, что соли урана сами испускают невидимое излучение, которое засвечивает фотопластинку даже сквозь чёрную бумагу. Мария и Пьер Кюри нашли новые, гораздо более активные элементы — полоний и радий — и назвали явление радиоактивностью. В 1902 году Эрнест Резерфорд и Фредерик Содди поняли, что при радиоактивном распаде один химический элемент превращается в другой, а активность любого препарата убывает по одному и тому же закону: за равные промежутки времени распадается одна и та же доля ядер. Время, за которое распадается половина ядер, Резерфорд назвал периодом полураспада. У разных изотопов он отличается невероятно: у полония-214 — 164 микросекунды, у урана-238 — 4,5 миллиарда лет, почти возраст Земли.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон радиоактивного распада

$$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$

N₀ — начальное число ядер, N — число нераспавшихся ядер к моменту t, T — период полураспада. За каждый период T число ядер уменьшается вдвое

▶ Подробное объяснение

Закон статистический: он предсказывает поведение большого числа ядер, но не момент распада отдельного ядра. Через время t = nT остаётся N = N₀/2ⁿ ядер. Например, из 1000 ядер радона-222 (T = 3,82 сут) через 11,46 сут = 3T остаётся около 1000/8 = 125 ядер.

Чем меньше ядер, тем заметнее случайные отклонения от закона: они порядка √N. При N₀ = 10 ступенчатый график сильно «гуляет» вокруг кривой, при N₀ = 5000 почти совпадает с ней.

Закон распада через постоянную распада

$$N = N_0 e^{-\lambda t}$$

λ — постоянная распада: вероятность распада ядра за единицу времени, с⁻¹. Это та же экспонента, что и N₀·2^(−t/T), только с основанием e

▶ Подробное объяснение

За малое время dt распадается доля λ·dt оставшихся ядер: dN = −λN·dt. Число распадов пропорционально числу ядер — поэтому решение этого уравнения и есть экспонента N = N₀e^(−λt).

Подставив t = T и N = N₀/2, получаем e^(−λT) = 1/2, откуда λ = ln 2 / T. Поэтому обе записи закона — с основанием 2 и с основанием e — полностью равноправны.

Постоянная распада и период полураспада

$$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$$

ln 2 ≈ 0,693. Чем короче период полураспада, тем больше постоянная распада и тем быстрее распадается вещество

▶ Подробное объяснение

Для радона-222 T = 3,82 сут = 3,30·10⁵ с, поэтому λ = 0,693 / 3,30·10⁵ с ≈ 2,1·10⁻⁶ с⁻¹: каждое ядро радона распадается в данную секунду с вероятностью около двух миллионных. Для урана-238 λ ≈ 4,9·10⁻¹⁸ с⁻¹ — в миллиарды раз меньше.

Период полураспада — характеристика изотопа: он не зависит ни от температуры, ни от давления, ни от того, в какое химическое соединение входит атом.

Активность радиоактивного образца

$$A = \lambda N = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$

A — число распадов в секунду, измеряется в беккерелях: 1 Бк = 1 распад/с. Активность убывает по тому же закону, что и число ядер

▶ Подробное объяснение

Активность — то, что измеряет счётчик Гейгера: чем больше нераспавшихся ядер, тем чаще щелчки. В симуляторе второй график показывает число распадов ΔN за каждый короткий интервал Δt — это и есть A·Δt.

Пример: 1 г радия-226 (T = 1600 лет) содержит 2,7·10²¹ ядер, его активность A = λN ≈ 3,7·10¹⁰ Бк. Эту величину раньше называли кюри (1 Ки = 3,7·10¹⁰ Бк).

Вероятность распада одного ядра

$$p = 1 - 2^{-\frac{\Delta t}{T}} = 1 - e^{-\lambda \Delta t}$$

p — вероятность того, что ядро распадётся за промежуток Δt. Она не зависит от того, сколько ядро уже прожило: за Δt = T она всегда равна 50 %

▶ Подробное объяснение

Это свойство называют отсутствием памяти: у ядра нет внутренних «часов», которые приближали бы его распад. Ядро, прожившее 5T, распадётся за следующий период T с той же вероятностью ½, что и только что образовавшееся.

При малых Δt ≪ T вероятность p ≈ λΔt. В симуляторе момент распада каждого ядра разыгрывается именно по этому закону: t = −T·log₂U, где U — случайное число от 0 до 1.

Среднее время жизни ядра

$$\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T}{\ln 2}$$

τ — среднее время жизни ядра. За время τ число ядер уменьшается в e ≈ 2,72 раза

▶ Подробное объяснение

Половина ядер распадается раньше T, но некоторые ядра живут 5T, 10T и дольше. Из-за этих долгожителей среднее время жизни больше медианы: τ ≈ 1,44T.

Проверь в режиме «Одно ядро»: набери несколько сотен ядер кнопкой «+100 ядер мгновенно» — медиана времени жизни будет близка к T, а среднее — к 1,44T.

Число распавшихся ядер

$$\Delta N = N_0 - N = N_0\left(1 - 2^{-\frac{t}{T}}\right)$$

ΔN — сколько ядер распалось за время t. За T распадается половина, за 2T — три четверти, за 3T — семь восьмых начального числа

▶ Подробное объяснение

Число распавшихся ядер равно числу образовавшихся дочерних ядер — в симуляторе это серо-синие ядра. Именно по их доле определяют возраст: например, в радиоуглеродном методе сравнивают, сколько ¹⁴C осталось в образце по сравнению с живыми организмами.

Задача: какая доля ядер кобальта-60 (T = 5,27 года) распадётся за 10,54 года? Это 2T, поэтому распадётся 1 − 1/4 = 3/4 = 75 % ядер.

Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение неустойчивого атомного ядра в другое ядро с испусканием частиц. При α-распаде ядро выбрасывает α-частицу — ядро гелия ⁴He из двух протонов и двух нейтронов, поэтому зарядовое число уменьшается на 2, а массовое — на 4: ²²²Rn → ²¹⁸Po + ⁴He. При β⁻-распаде нейтрон внутри ядра превращается в протон, ядро выбрасывает электрон и антинейтрино, и зарядовое число растёт на 1: ¹⁴C → ¹⁴N + e⁻ + ν̃. γ-излучение — фотоны высокой энергии, которые уносят избыток энергии возбуждённого ядра; состав ядра при этом не меняется.

Главное, что показывает симулятор: распад отдельного ядра — случайное событие. Ядро не «стареет» и не «изнашивается»: вероятность того, что оно распадётся за следующий промежуток Δt, всегда одна и та же, p = 1 − 2^(−Δt/T). За время T любое ядро распадается с вероятностью ½, сколько бы оно ни прожило до этого. В режиме «Одно ядро» кольцо-часы отсчитывают периоды полураспада, а ядро распадается, когда ему «выпадет». Нажми «+100 ядер мгновенно»: гистограмма времён жизни похожа на убывающую экспоненту, а медиана близка к T.

Если ядер много, случайности усредняются, и получается закон радиоактивного распада: N = N₀·2^(−t/T) = N₀·e^(−λt). Здесь N₀ — начальное число ядер, N — число нераспавшихся ядер к моменту t, T — период полураспада, λ = ln 2 / T ≈ 0,693/T — постоянная распада. Через T остаётся половина ядер, через 2T — четверть, через 3T — восьмая часть. На графике N(t) жёлтые точки отмечают ½N₀, ¼N₀ и ⅛N₀. Включи логарифмическую шкалу — экспонента превратится в прямую.

Активность A = λN — число распадов в секунду; её измеряют в беккерелях (1 Бк = 1 распад/с). Активность пропорциональна числу оставшихся ядер и убывает по тому же закону: A = A₀·2^(−t/T). Это видно по второму графику — числу распадов за каждый интервал — и слышно: в начале счётчик Гейгера трещит, а через несколько периодов щёлкает всё реже. Среднее время жизни ядра τ = 1/λ = T/ln 2 ≈ 1,44T больше периода полураспада, потому что отдельные ядра живут очень долго.

Что попробовать. Запусти опыт с N₀ = 1000 и сравни, сколько ядер осталось через T, 2T и 3T, с теорией. Поставь N₀ = 10 и повтори опыт несколько раз: ступеньки каждый раз другие, а относительный разброс порядка 1/√N. Смени изотоп: от технеция-99m (6 ч) до урана-238 (4,5 млрд лет) графики в единицах T одинаковые — меняется только масштаб реального времени. Закон распада лежит в основе радиоуглеродного датирования (¹⁴C), ядерной медицины (⁹⁹ᵐTc, ¹³¹I) и расчёта хранения радиоактивных отходов.