Опыт Франка–Герца: квантование энергии атома

Разгоняй электроны в лампе с парами ртути или неоном и снимай зависимость тока от напряжения. Ток растёт, но через каждые 4,9 В резко падает: электроны отдают атомам ртути ровно по 4,9 эВ. Следи за энергией отдельного электрона, найди минимумы тока и по шагу между ними вычисли энергию возбуждения атома и длину волны его излучения.

электрон выбранный электрон (его энергия — на графике ниже) атом газа неупругий удар: атом возбуждён и излучает фотон

Двигай ползунок U или нажми «Снять кривую I(U)». Следи за жёлтым электроном: набрав энергию E₁, он ударяет атом и теряет её — а у анода тормозящее поле разворачивает «уставшие» электроны. Клик по графику I(U) переводит лампу на это напряжение.

Газ в лампе

Напряжение U

0.0

Ток анода I

0.00

U ускоряющее напряжение 0.0

U_з тормозящее напряжение 1.5

Не пускает к аноду электроны, у которых у сетки энергия меньше eUз

T температура печи 170 °C

Горячее печь — гуще пары ртути, короче пробег электрона и глубже провалы тока

Скорость анимации ×1

медленнеебыстрее

Проверь себя

Модель: электрон набирает энергию eU·x; пока она меньше E₁, удары упругие и почти не меняют энергию. При ε ≥ E₁ на случайной длине пробега происходит неупругий удар, и электрон теряет E₁ (ртуть: 4,89 эВ, неон: ≈ 18,7 эВ). Ток рассчитан методом Монте-Карло по тем же правилам. Контактная разность потенциалов не учтена, поэтому минимумы стоят около k·E₁ + eUз; в реальной лампе вся кривая сдвинута на 1–2 В, а шаг ΔU тот же.

ε = eU

энергия электрона у сетки без ударов

N_exc

среднее число возбуждений атомов одним электроном

Минимумы тока на кривой

В 1914 году Джеймс Франк и Густав Герц пропускали электроны через пары ртути и увидели, что атом ртути не принимает от электрона «сколько угодно» энергии. Пока у электрона меньше 4,9 эВ, удары упругие — электрон отскакивает, почти не теряя энергии. Как только энергия достигает 4,9 эВ, атом забирает её целиком, переходит в возбуждённое состояние и вскоре излучает ультрафиолетовый фотон 254 нм. Поэтому ток через лампу падает каждый раз, когда ускоряющее напряжение вырастает ещё на 4,9 В. Это было первое прямое доказательство того, что энергия атома квантована.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Энергия, которую электрон набирает в поле

$$E_k = eU$$

Пройдя ускоряющую разность потенциалов U, электрон с зарядом e приобретает кинетическую энергию eU; при U = 1 В это 1 эВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж

▶ Подробное объяснение

Работа электрического поля над зарядом равна A = eU и целиком идёт на увеличение кинетической энергии электрона. Поэтому энергию электронов в опыте удобно измерять в электронвольтах: число вольт на источнике сразу даёт энергию в эВ. Скорость электрона с энергией 4,9 эВ найдём из eU = mv²/2: v = √(2eU/m) ≈ 1,3·10⁶ м/с — это меньше 1 % скорости света, поэтому релятивистские поправки не нужны.

Если электрон по дороге столкнулся с атомом и отдал ему энергию E₁, то дальше он снова набирает энергию в поле, начиная почти с нуля. На графике энергии выбранного электрона в симуляторе это видно как «пила»: наклонный подъём eU·x и вертикальные провалы на E₁.

Энергия возбуждения по шагу минимумов

$$E_1 = e\,\Delta U$$

ΔU — расстояние между соседними минимумами тока на кривой I(U); E₁ — энергия, на которую возбуждается атом при неупругом ударе (для ртути 4,89 эВ)

▶ Подробное объяснение

Каждый следующий минимум появляется, когда электрон успевает набрать энергию E₁ ещё один раз. Поэтому расстояние между минимумами по напряжению прямо даёт энергию возбуждения: E₁ = eΔU. Положение первого минимума для этого не годится: в реальной лампе вся кривая сдвинута на контактную разность потенциалов между катодом и сеткой (1–2 В), а разность соседних минимумов от этого сдвига не зависит.

Для ртути ΔU = 4,9 В, значит E₁ = 4,9 эВ — это переход 6¹S₀ → 6³P₁. Для неона ΔU ≈ 19 В: электроны возбуждают группу уровней 3p с энергиями 18,4–19,0 эВ. Чтобы повысить точность, берут среднее по нескольким минимумам: ΔU = (U_N − U₁)/(N − 1). Именно так считает симулятор во вкладке «Измерения».

Длина волны света, испускаемого возбуждённым атомом

$$\lambda = \frac{hc}{E_1} = \frac{hc}{e\,\Delta U}$$

Возвращаясь в основное состояние, атом излучает фотон с энергией E₁; для ртути λ = 1240 эВ·нм / 4,89 эВ ≈ 254 нм — ультрафиолет

▶ Подробное объяснение

Здесь h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с — постоянная Планка, c = 3·10⁸ м/с — скорость света. Франк и Герц проверили этот вывод напрямую: с помощью кварцевого спектрографа они обнаружили, что пары ртути начинают излучать линию 253,7 нм именно тогда, когда ускоряющее напряжение превышает 4,9 В, и не излучают её при меньших напряжениях. Энергия, найденная по току, и энергия, найденная по свету, совпали.

У неона картина сложнее: атом, возбуждённый на уровень 3p (≈ 18,7 эВ), сначала переходит на уровень 3s (≈ 16,7 эВ), излучая видимый фотон с энергией около 2 эВ (λ = 585–703 нм), а затем из 3s — в основное состояние, излучая ультрафиолет. Поэтому неоновая лампа Франка–Герца светится оранжево-красными слоями, хотя hc/E₁ ≈ 66 нм лежит в далёком ультрафиолете.

Потеря энергии электрона при упругом ударе

$$\frac{\Delta E}{E} \le \frac{4\,m_e M}{(m_e + M)^2} \approx \frac{4\,m_e}{M}$$

Наибольшая доля энергии, которую лёгкий электрон массой mₑ может передать покоящемуся атому массой M при упругом лобовом ударе; для ртути ≈ 1,1·10⁻⁵

▶ Подробное объяснение

Формула следует из законов сохранения импульса и энергии для лобового упругого удара. Атом ртути (M ≈ 200 а. е. м.) примерно в 370 000 раз тяжелее электрона, поэтому за один упругий удар электрон теряет не больше 0,001 % энергии. Даже после тысяч таких ударов его энергия почти не меняется — он только меняет направление движения.

Именно поэтому опыт Франка–Герца так нагляден: пока энергия электрона меньше E₁, газ для него почти «невидим» с точки зрения потерь энергии, и электрон свободно разгоняется полем. Резкая потеря энергии возможна только при неупругом ударе, когда энергия электрона достаточна, чтобы перевести атом на возбуждённый уровень. В модели симулятора упругие удары поэтому не учитываются вовсе.

Лампа Франка–Герца — стеклянная колба с катодом K, сеткой G и анодом A, заполненная парами ртути (колбу нагревают в печи до 150–200 °C, чтобы ртуть испарилась). Раскалённый катод испускает электроны, а напряжение U между катодом и сеткой разгоняет их: у сетки электрон набирает энергию eU. Между сеткой и анодом подано небольшое тормозящее напряжение Uз ≈ 1,5 В. До анода долетают только те электроны, у которых у сетки осталось больше eUз. Амперметр измеряет ток этих электронов.

На пути к сетке электрон много раз сталкивается с атомами ртути. Если его энергия меньше 4,9 эВ, удар упругий: атом ртути в 370 000 раз тяжелее электрона, и электрон отскакивает от него, как мяч от стены, теряя около 0,001 % энергии. Но когда энергия электрона достигает 4,9 эВ, становится возможным неупругий удар: атом забирает ровно 4,9 эВ и переходит на первый возбуждённый уровень. Меньше атом взять не может — других уровней ниже нет. Через стомиллионные доли секунды атом возвращается в основное состояние и излучает фотон с энергией 4,9 эВ — ультрафиолетовую линию 253,7 нм.

Отсюда форма вольт-амперной характеристики. Пока U < 4,9 В, ток растёт. Когда U чуть превышает 4,9 В, электроны набирают 4,9 эВ у самой сетки, тут же отдают их атомам и подходят к сетке почти без энергии — тормозящее поле их разворачивает, и ток резко падает. Дальше электрон успевает после удара снова разогнаться, и ток опять растёт до тех пор, пока U не достигнет 2·4,9 В: теперь электрон ударяет атомы дважды. Так возникает серия минимумов, отстоящих друг от друга на ΔU = 4,9 В. В симуляторе нажми «Снять кривую I(U)» и посмотри на энергию жёлтого электрона: при каждом ударе его энергия «проваливается» на 4,9 эВ. Программа сама найдёт минимумы, измерит ΔU и вычислит E₁ = eΔU и λ = hc/E₁ — как в лабораторной работе.

Поменяй газ на неон. Энергия возбуждения неона около 18,7 эВ, поэтому минимумы идут через ≈ 19 В. Возбуждённый атом неона отдаёт энергию ступенями: сначала излучает видимый оранжево-красный фотон (585–703 нм), затем ультрафиолетовый. Там, где электроны набирают 18,7 эВ и ударяют атомы, газ светится — в лампе видны светящиеся слои. При U ≈ 19 В слой один и находится у сетки, с ростом напряжения он смещается к катоду, при ≈ 38 В появляется второй слой, при ≈ 57 В — третий. Число слоёв — это число ударов, которые успевает сделать электрон.

Попробуй и другие настройки. Если убрать тормозящее напряжение (Uз = 0), до анода дойдут даже электроны, отдавшие энергию атомам, и минимумы исчезнут. Если охладить печь, паров ртути станет меньше, электрон будет пролетать дальше без ударов, и провалы станут мельче. Франк и Герц получили за этот опыт Нобелевскую премию 1925 года: он подтвердил постулаты Бора — атом может находиться только в стационарных состояниях с определёнными энергиями и поглощает энергию строго порциями, равными разностям этих энергий.