Модель атома Бора: уровни энергии и спектр водорода

Переводи электрон между орбитами атома водорода и смотри, как рождается линейчатый спектр. При переходе вниз атом излучает фотон, при переходе вверх — поглощает, и энергия фотона в точности равна разности энергий уровней. Включи газовый разряд, и спектр водорода соберётся сам, линия за линией.

Показать серию:

ядро электрон атома ~~~фотон: цвет — длина волны, пунктир — невидимые УФ и ИК электрон разряда — возбуждает атом ударом

Кликни по орбите или по уровню на диаграмме. Вверх — атом поглощает фотон из спектра лампы, вниз — излучает фотон, и тот зажигает линию в спектре. Наведи на линию спектра, чтобы узнать её переход и длину волны.

n = 1

E = −13.60 · r = 0.053

Перевести электрон на уровень

∞ — ионизация: электрон отрывается от ядра

Скорость анимации ×0.4

медленнеебыстрее

Атом

Волна де Бройля на орбите (2πr = nλ)

Орбиты в реальном масштабе (r ∝ n²)

Все возможные переходы на диаграмме

Проверь себя

Модель Бора точна для атомов с одним электроном: водорода и ионов He⁺, Li²⁺. Длины волн рассчитаны с учётом движения ядра и соответствуют вакууму. В режиме разряда электрон спускается каскадом с реальными вероятностями переходов водорода. Орбиты в обычном режиме нарисованы в условном масштабе, скорость электрона на экране условна — сохранено только соотношение v ∝ 1/n.

Уровень n

E_n = −13.6·Z²/n²

r_n = a₀n²/Z

v_n = v₁Z/n

E_ion = |E_n|

энергия ионизации с этого уровня

Последний переход

hν = |E_k − E_n|

λ = hc / hν

ν = ΔE / h

Фотоны: излучено / поглощено

Почему водород светится не радугой, а отдельными цветными линиями? По Бору, электрон в атоме может находиться только на разрешённых орбитах с энергиями Eₙ = −13,6/n² эВ и, двигаясь по ним, не излучает. Свет испускается только при скачке с уровня на уровень — порцией hν = Eₖ − Eₙ. Набор уровней у каждого атома свой, поэтому и спектр служит его «отпечатком пальца»: переходы на n = 1 дают ультрафиолетовую серию Лаймана, на n = 2 — видимую серию Бальмера, на n = 3 — инфракрасную серию Пашена.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Первый постулат Бора: квантование орбит

$$m_e v_n r_n = n\hbar = n\frac{h}{2\pi}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$

Электрон движется только по стационарным орбитам, на которых он не излучает. Разрешены орбиты, где момент импульса электрона кратен ħ; n — главное квантовое число

▶ Подробное объяснение

Здесь mₑ = 9,11·10⁻³¹ кг — масса электрона, vₙ и rₙ — его скорость и радиус орбиты, ħ = h/2π = 1,055·10⁻³⁴ Дж·с — приведённая постоянная Планка. Условие выбирает из всех классических круговых орбит лишь дискретный набор.

Смысл квантования объяснил в 1924 году де Бройль: электрону соответствует волна с длиной λ = h/(mₑv). Подставив её в условие Бора, получаем 2πrₙ = n·λ — на длине орбиты укладывается целое число волн, и волна замыкается сама на себя, образуя стоячую волну. Включи в симуляторе «Волну де Бройля на орбите»: на орбите n видно ровно n длин волн.

Второй постулат Бора: правило частот

$$h\nu = E_k - E_n$$

При переходе электрона с уровня с энергией Eₖ на уровень с энергией Eₙ атом излучает (если Eₖ > Eₙ) или поглощает один фотон, энергия которого равна разности энергий уровней

▶ Подробное объяснение

Здесь h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с — постоянная Планка, ν — частота фотона. Длина волны фотона λ = c/ν = hc/(Eₖ − Eₙ); удобно помнить, что hc ≈ 1240 эВ·нм, поэтому фотон с энергией 1,89 эВ имеет λ ≈ 1240/1,89 ≈ 656 нм.

Из правила частот следуют две важные вещи. Во-первых, спектр излучения атома линейчатый: уровни дискретны, значит, и разности энергий принимают только определённые значения. Во-вторых, атом поглощает только те фотоны, энергия которых точно совпадает с разностью каких-то двух уровней, — поэтому линии поглощения газа стоят на тех же местах, что и линии его излучения. В симуляторе это видно сразу: тёмная линия в спектре поглощения появляется ровно под яркой линией излучения того же перехода.

Уровни энергии атома водорода

$$E_n = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\cdot\frac{Z^2}{n^2} = -R_y\,\frac{Z^2}{n^2}$$

Полная энергия электрона на n-й орбите. Для водорода (Z = 1) Ry ≈ 13,6 эВ, поэтому E₁ = −13,6 эВ, E₂ = −3,4 эВ, E₃ = −1,51 эВ; Z — заряд ядра в единицах e

▶ Подробное объяснение

Полная энергия складывается из кинетической энергии электрона и потенциальной энергии его притяжения к ядру: E = mv²/2 − kZe²/r. Для круговой орбиты кинетическая энергия равна половине модуля потенциальной, поэтому полная энергия отрицательна и равна −kZe²/(2r). Подставив радиусы Бора, получаем формулу уровней. Здесь e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл — элементарный заряд, ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная.

Отрицательная энергия означает, что электрон связан: чтобы освободить его, нужно сообщить энергию |Eₙ|. Для основного состояния водорода это энергия ионизации 13,6 эВ. С ростом n уровни сгущаются к нулю, а над нулём начинается область свободного электрона, где энергия может быть любой. У водородоподобных ионов (He⁺, Li²⁺) энергии в Z² раз больше по модулю: у He⁺ E₁ = −54,4 эВ. В точном расчёте учитывают и движение ядра: масса электрона заменяется приведённой массой, и Ry для водорода становится 13,598 эВ.

Радиусы боровских орбит

$$r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}\cdot\frac{n^2}{Z} = a_0\,\frac{n^2}{Z}$$

Радиус n-й стационарной орбиты; a₀ = 0,053 нм — боровский радиус, радиус первой орбиты атома водорода. Радиусы растут как квадраты натуральных чисел: 1 : 4 : 9 : 16

▶ Подробное объяснение

Формула получается из двух условий. Второй закон Ньютона: кулоновская сила сообщает электрону центростремительное ускорение, mv²/r = kZe²/r². Первый постулат Бора: mvr = nħ. Исключив скорость, находим rₙ = a₀n²/Z, а скорость на орбите vₙ = v₁Z/n, где v₁ = 2,19·10⁶ м/с — это меньше 1 % скорости света, поэтому теорию относительности можно не учитывать.

Квадратичный рост радиуса хорошо виден в симуляторе, если включить «Орбиты в реальном масштабе»: орбита n = 6 в 36 раз больше первой, и внутренние орбиты почти сливаются с ядром. В обычном режиме орбиты нарисованы в условном масштабе, чтобы все шесть поместились на экране. Возбуждённый атом водорода на уровне n = 100 имел бы радиус около 0,5 мкм — такие гигантские «ридберговские атомы» действительно получают в лабораториях.

Формула Ридберга: спектральные серии

$$\frac{1}{\lambda} = R\,Z^2\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \qquad n_2 > n_1$$

Длины волн всех линий водородоподобного атома; R = 1,097·10⁷ м⁻¹ — постоянная Ридберга, n₁ — нижний уровень, задающий серию, n₂ — верхний уровень

▶ Подробное объяснение

Формулу нашли из опыта задолго до Бора: в 1885 году Бальмер подобрал её для видимых линий водорода, а Ридберг обобщил. Бор впервые вывел её из теории: подставив Eₙ в правило частот hν = Eₖ − Eₙ и λ = c/ν, получаем R = Ry/(hc), и вычисленное значение совпало с измеренным — это был триумф модели.

Каждому нижнему уровню n₁ соответствует своя серия: n₁ = 1 — серия Лаймана (ультрафиолет, 91–122 нм), n₁ = 2 — серия Бальмера (видимый свет и ближний ультрафиолет, 365–656 нм), n₁ = 3 — серия Пашена (инфракрасная, 820–1875 нм), далее серии Брэкета и Пфунда. При n₂ → ∞ линии сходятся к границе серии: λ = n₁²/(RZ²). Нажми в симуляторе кнопку серии и посмотри, как линии одна за другой сгущаются к этой границе. Пример: для Hβ (n₂ = 4, n₁ = 2) 1/λ = 1,097·10⁷·(1/4 − 1/16) ≈ 2,06·10⁶ м⁻¹, λ ≈ 486 нм.

В 1911 году Резерфорд показал, что атом устроен как маленькая планетная система: в центре — крошечное положительное ядро, вокруг движутся электроны. Но классическая электродинамика с такой моделью не уживалась: электрон, движущийся по окружности, имеет ускорение и должен непрерывно излучать, терять энергию и примерно за 10⁻⁸ с упасть на ядро. К тому же спектр такого атома был бы сплошным, а опыт давал отдельные линии. В 1913 году Нильс Бор предложил два постулата. Первый: электрон может двигаться только по стационарным орбитам, на которых он не излучает; разрешены орбиты, где момент импульса кратен постоянной Планка: m·v·r = n·ħ. Второй (правило частот): при переходе с уровня с энергией Eₖ на уровень Eₙ атом излучает или поглощает один фотон с энергией hν = Eₖ − Eₙ.

Из постулатов следуют радиусы орбит rₙ = a₀·n² (a₀ = 0,053 нм — боровский радиус) и энергии Eₙ = −13,6/n² эВ. Энергия отрицательна: электрон связан с ядром, и чтобы оторвать его, нужно совершить работу. При n → ∞ энергия стремится к нулю — это ионизация. Энергия ионизации водорода из основного состояния — 13,6 эВ. Посмотри на диаграмму уровней в симуляторе: уровни сгущаются к нулю, поэтому переходы с высоких уровней на один и тот же нижний дают линии, которые сходятся к границе серии. Скорость электрона на орбите vₙ = 2,19·10⁶/n м/с — на экране соблюдено это соотношение.

Кликни по орбите, по уровню на диаграмме или по кнопке с номером уровня. Если уровень выше, из сплошного спектра лампы вылетает фотон нужной длины волны и поглощается атомом — в спектре поглощения на его месте остаётся тёмная линия. Если уровень ниже, атом излучает фотон, и тот попадает в спектр излучения, зажигая там яркую линию. Кнопки «Лайман», «Бальмер» и «Пашен» по очереди проигрывают все переходы серии. Сравни два спектра: тёмные линии поглощения стоят ровно там же, где светлые линии излучения, — газ поглощает те же длины волн, которые сам испускает. Длины волн видимых линий водорода: Hα — 656 нм (красная), Hβ — 486 нм (голубая), Hγ — 434 нм и Hδ — 410 нм (фиолетовые). Все они описываются формулой Ридберга 1/λ = R·(1/n₁² − 1/n₂²).

Кнопка «Включить разряд» превращает атом в часть газоразрядной трубки: электроны тока ударом возбуждают его, а затем электрон спускается каскадом с реальными вероятностями переходов. Спектр набирается сам — и видно, что большая часть фотонов уходит в невидимый ультрафиолет (линия Лайман-α), а характерный розовый цвет водородной трубки дают красная Hα и голубая Hβ. Выбери ион He⁺ или Li²⁺: заряд ядра Z входит в энергии как Z², поэтому все линии смещаются в ультрафиолет. Галочка «Волна де Бройля» показывает, почему разрешены только определённые орбиты: на длине орбиты должно укладываться целое число длин волн электрона, 2πr = n·λ.

Модель Бора впервые объяснила спектр водорода и стала мостом к квантовой механике, но у неё есть границы. Она работает только для атомов с одним электроном, не объясняет, почему одни линии ярче других, и не описывает атомы с несколькими электронами. Современная квантовая механика заменила орбиты «облаками» вероятности, но формула уровней энергии водорода Eₙ = −13,6/n² эВ осталась прежней. Включи «Проверь себя» — вопросы помогут закрепить, как связаны уровни, переходы и цвет линий.