Радиоактивті ыдырау заңы

Алдыңызда мың радиоактивті ядродан тұратын үлгі. Әр ядро кездейсоқ сәтте ыдырайды: жарқ етеді, α- немесе β-бөлшек шығарады және түсін өзгертеді, ал Гейгер санағышы шырт етеді. Келесі қай ядро ыдырайтынын болжау мүмкін емес, бірақ әр жартылай ыдырау периоды T ішінде ядролардың дәл жартысына жуығы ыдырайды. Тәжірибенің сатылы графигін N = N₀·2^(−t/T) қисығымен салыстырыңыз, ядролар санын онға дейін азайтып, заңның қалай «шайқалатынын» көріңіз, ал «Бір ядро» режимінде ядролардың жасы болмайтынын тексеріңіз.

t = 0 T

Әр ядро кездейсоқ сәтте ыдырайды: оның өмір сүру уақыты 2^(−t/T) заңы бойынша анықталады, келесі қай ядро ыдырайтынын болжау мүмкін емес. Ядролардың өлшемі, бөлшектердің жылдамдығы мен нуклондар саны сызба түрінде көрсетілген, уақыт жылдамдатылған. Санағыш идеалдандырылған — ол әр ыдырауды тіркейді.

Режим

Изотоп

N₀ ядролардың бастапқы саны 1000

T экранда созылады 5

Үлгінің пішіні

Ұшып шығатын бөлшектерді көрсету

Гейгер санағышының дыбысы

N-нің логарифмдік шкаласы

Бұрынғы тәжірибелерді графикте қалдыру

Өзіңді тексер

N₀ = 10 және N₀ = 5000 тәжірибелерін салыстыр: ядро неғұрлым көп болса, сатылы график N₀·2^(−t/T) қисығына соғұрлым дәл түседі. «Бір ядро» режимінде ядроның «қартаймайтынына» көз жеткіз: ол қанша өмір сүрсе де, келесі T периоды ішінде ыдырау ықтималдығы 50 % болып қала береді.

t T периодымен

t нақты уақыт

N — қалды

N₀ − N — ыдырады

N / N₀ (тәжірибе)

2^−t/T (теория)

T — жартылай ыдырау периоды

τ = 1/λ = T/ln 2

λ = ln 2 / T

A = λN

Ядроның жасы

Ядроның жасы, нақты уақыт

Келесі T периоды ішінде ыдырау ықтималдығы: p = 1 − 2^−Δt/T

Өлшенген ядролар

T-дан аз өмір сүрді

Өмір сүру уақытының медианасы

Орташа өмір сүру уақыты (τ ≈ 1,44 T)

1896 жылы Анри Беккерель уран тұздарының өздігінен көзге көрінбейтін сәуле шығаратынын байқады — ол фотопластинканы қара қағаз арқылы да жарықтандырды. Мария және Пьер Кюри әлдеқайда белсенді жаңа элементтер — полоний мен радийді тауып, бұл құбылысты радиоактивтілік деп атады. 1902 жылы Эрнест Резерфорд пен Фредерик Содди радиоактивті ыдырау кезінде бір химиялық элемент екіншісіне айналатынын, ал кез келген препараттың активтілігі бір заң бойынша кемитінін түсінді: тең уақыт аралықтарында ядролардың бірдей үлесі ыдырайды. Ядролардың жартысы ыдырайтын уақытты Резерфорд жартылай ыдырау периоды деп атады. Әр изотопта ол керемет әр түрлі: полоний-214-те — 164 микросекунд, уран-238-де — 4,5 миллиард жыл, яғни Жердің жасына жуық.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Радиоактивті ыдырау заңы

$$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$

N₀ — ядролардың бастапқы саны, N — t уақытқа дейін ыдырамаған ядролар саны, T — жартылай ыдырау периоды. Әр T периодында ядролар саны екі есе кемиді

▶ Толық түсіндірме

Заң статистикалық: ол көп ядроның әрекетін болжайды, бірақ жеке ядроның ыдырау сәтін болжамайды. t = nT уақыт өткенде N = N₀/2ⁿ ядро қалады. Мысалы, радон-222-нің 1000 ядросынан (T = 3,82 тәул.) 11,46 тәул. = 3T өткенде шамамен 1000/8 = 125 ядро қалады.

Ядро неғұрлым аз болса, заңнан кездейсоқ ауытқулар соғұрлым байқалады: олар шамамен √N. N₀ = 10 болғанда сатылы график қисықтың маңында қатты «ауытқиды», ал N₀ = 5000 болғанда онымен дерлік сәйкес келеді.

Ыдырау тұрақтысы арқылы ыдырау заңы

$$N = N_0 e^{-\lambda t}$$

λ — ыдырау тұрақтысы: ядроның уақыт бірлігінде ыдырау ықтималдығы, с⁻¹. Бұл N₀·2^(−t/T) экспонентасының өзі, тек негізі e

▶ Толық түсіндірме

Аз dt уақыт ішінде қалған ядролардың λ·dt үлесі ыдырайды: dN = −λN·dt. Ыдыраулар саны ядролар санына пропорционал, сондықтан бұл теңдеудің шешімі N = N₀e^(−λt) экспонентасы болады.

t = T және N = N₀/2 қойсақ, e^(−λT) = 1/2 шығады, осыдан λ = ln 2 / T. Сондықтан заңның екі жазылуы да — 2 негізімен де, e негізімен де — толығымен тең құқылы.

Ыдырау тұрақтысы және жартылай ыдырау периоды

$$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$$

ln 2 ≈ 0,693. Жартылай ыдырау периоды неғұрлым қысқа болса, ыдырау тұрақтысы соғұрлым үлкен және зат соғұрлым тез ыдырайды

▶ Толық түсіндірме

Радон-222 үшін T = 3,82 тәул. = 3,30·10⁵ с, сондықтан λ = 0,693 / 3,30·10⁵ с ≈ 2,1·10⁻⁶ с⁻¹: радонның әр ядросы берілген секундта шамамен миллионнан екі ықтималдықпен ыдырайды. Уран-238 үшін λ ≈ 4,9·10⁻¹⁸ с⁻¹ — миллиардтаған есе аз.

Жартылай ыдырау периоды — изотоптың сипаттамасы: ол температураға да, қысымға да, атомның қандай химиялық қосылысқа кіретініне де тәуелді емес.

Радиоактивті үлгінің активтілігі

$$A = \lambda N = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$

A — бір секундтағы ыдыраулар саны, беккерельмен өлшенеді: 1 Бк = 1 ыдырау/с. Активтілік ядролар саны сияқты заң бойынша кемиді

▶ Толық түсіндірме

Активтілікті Гейгер санағышы өлшейді: ыдырамаған ядро неғұрлым көп болса, шырт еткен дыбыс соғұрлым жиі естіледі. Симулятордағы екінші график әр қысқа Δt аралығындағы ыдыраулар санын ΔN көрсетеді — бұл дәл A·Δt.

Мысал: 1 г радий-226 (T = 1600 жыл) 2,7·10²¹ ядродан тұрады, оның активтілігі A = λN ≈ 3,7·10¹⁰ Бк. Бұл шаманы бұрын кюри деп атаған (1 Ки = 3,7·10¹⁰ Бк).

Бір ядроның ыдырау ықтималдығы

$$p = 1 - 2^{-\frac{\Delta t}{T}} = 1 - e^{-\lambda \Delta t}$$

p — ядроның Δt аралығында ыдырау ықтималдығы. Ол ядроның бұған дейін қанша өмір сүргеніне тәуелді емес: Δt = T үшін ол әрқашан 50 %

▶ Толық түсіндірме

Бұл қасиетті жадының болмауы деп атайды: ядроның ыдырауын жақындататын ішкі «сағаты» жоқ. 5T өмір сүрген ядро келесі T периоды ішінде жаңа ғана пайда болған ядро сияқты ½ ықтималдықпен ыдырайды.

Кіші Δt ≪ T үшін ықтималдық p ≈ λΔt. Симуляторда әр ядроның ыдырау сәті дәл осы заң бойынша анықталады: t = −T·log₂U, мұндағы U — 0 мен 1 арасындағы кездейсоқ сан.

Ядроның орташа өмір сүру уақыты

$$\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T}{\ln 2}$$

τ — ядроның орташа өмір сүру уақыты. τ уақыт ішінде ядролар саны e ≈ 2,72 есе кемиді

▶ Толық түсіндірме

Ядролардың жартысы T-дан бұрын ыдырайды, бірақ кейбір ядролар 5T, 10T және одан да ұзақ өмір сүреді. Осы ұзақ өмір сүретіндердің әсерінен орташа өмір сүру уақыты медианадан үлкен: τ ≈ 1,44T.

«Бір ядро» режимінде тексеріңіз: «+100 ядро бірден» батырмасымен бірнеше жүз ядро жинаңыз — өмір сүру уақытының медианасы T-ға, ал орташасы 1,44T-ға жақын болады.

Ыдыраған ядролар саны

$$\Delta N = N_0 - N = N_0\left(1 - 2^{-\frac{t}{T}}\right)$$

ΔN — t уақыт ішінде қанша ядро ыдырағаны. T ішінде жартысы, 2T ішінде төрттен үші, 3T ішінде бастапқы санның сегізден жетісі ыдырайды

▶ Толық түсіндірме

Ыдыраған ядролар саны пайда болған туынды ядролар санына тең — симуляторда бұл сұр-көк ядролар. Жасты дәл осылардың үлесі бойынша анықтайды: мысалы, радиокөміртекті әдісте үлгіде қалған ¹⁴C мөлшерін тірі ағзалармен салыстырады.

Есеп: кобальт-60 ядроларының (T = 5,27 жыл) қандай үлесі 10,54 жылда ыдырайды? Бұл 2T, сондықтан ядролардың 1 − 1/4 = 3/4 = 75 %-ы ыдырайды.

Радиоактивті ыдырау — орнықсыз атом ядросының бөлшектер шығара отырып басқа ядроға өздігінен айналуы. α-ыдырау кезінде ядро α-бөлшек — екі протон мен екі нейтроннан тұратын ⁴He гелий ядросын шығарады, сондықтан зарядтық сан 2-ге, ал массалық сан 4-ке кемиді: ²²²Rn → ²¹⁸Po + ⁴He. β⁻-ыдырау кезінде ядро ішіндегі нейтрон протонға айналады, ядро электрон мен антинейтрино шығарады, ал зарядтық сан 1-ге артады: ¹⁴C → ¹⁴N + e⁻ + ν̃. γ-сәуле — қозған ядроның артық энергиясын алып кететін жоғары энергиялы фотондар; бұл кезде ядроның құрамы өзгермейді.

Симулятордың басты көрсететіні: жеке ядроның ыдырауы — кездейсоқ оқиға. Ядро «қартаймайды» және «тозбайды»: оның келесі Δt аралығында ыдырау ықтималдығы әрқашан бірдей, p = 1 − 2^(−Δt/T). T уақыт ішінде кез келген ядро, бұған дейін қанша өмір сүрсе де, ½ ықтималдықпен ыдырайды. «Бір ядро» режимінде сақина-сағат жартылай ыдырау периодтарын санайды, ал ядро оған «кездейсоқ түскен» сәтте ыдырайды. «+100 ядро бірден» батырмасын басыңыз: өмір сүру уақыттарының гистограммасы кемімелі экспонентаға ұқсайды, ал оның медианасы T-ға жақын.

Ядро көп болса, кездейсоқтықтар орташаланып, радиоактивті ыдырау заңы шығады: N = N₀·2^(−t/T) = N₀·e^(−λt). Мұндағы N₀ — ядролардың бастапқы саны, N — t уақытқа дейін ыдырамаған ядролар саны, T — жартылай ыдырау периоды, λ = ln 2 / T ≈ 0,693/T — ыдырау тұрақтысы. T өткенде ядролардың жартысы, 2T өткенде төрттен бірі, 3T өткенде сегізден бірі қалады. N(t) графигіндегі сары нүктелер ½N₀, ¼N₀ және ⅛N₀ мәндерін белгілейді. Логарифмдік шкаланы қосыңыз — экспонента түзуге айналады.

Активтілік A = λN — бір секундтағы ыдыраулар саны; ол беккерельмен өлшенеді (1 Бк = 1 ыдырау/с). Активтілік қалған ядролар санына пропорционал және сол заң бойынша кемиді: A = A₀·2^(−t/T). Мұны екінші графиктен — әр аралықтағы ыдыраулар санынан көруге, әрі естуге болады: басында Гейгер санағышы тарсылдайды, ал бірнеше периодтан кейін сирек шырт етеді. Ядроның орташа өмір сүру уақыты τ = 1/λ = T/ln 2 ≈ 1,44T жартылай ыдырау периодынан ұзақ, өйткені кейбір ядролар өте ұзақ өмір сүреді.

Не істеп көруге болады. N₀ = 1000 тәжірибесін іске қосып, T, 2T және 3T өткенде қанша ядро қалғанын теориямен салыстырыңыз. N₀ = 10 қойып, тәжірибені бірнеше рет қайталаңыз: сатылар әр жолы басқаша, ал салыстырмалы шашырау шамамен 1/√N. Изотопты ауыстырыңыз: технеций-99m-нен (6 сағ) уран-238-ге (4,5 млрд жыл) дейін T бірлігіндегі графиктер бірдей — тек нақты уақыттың масштабы өзгереді. Ыдырау заңы радиокөміртекті мерзімдеудің (¹⁴C), ядролық медицинаның (⁹⁹ᵐTc, ¹³¹I) және радиоактивті қалдықтарды сақтауды есептеудің негізінде жатыр.