Бордың атом моделі: энергия деңгейлері және сутегі спектрі

Сутегі атомының орбиталары арасында электронды көшіріп, сызықтық спектрдің қалай пайда болатынын бақыла. Төмен өткенде атом фотон шығарады, жоғары өткенде — жұтады, ал фотон энергиясы деңгейлер энергияларының айырмасына дәл тең. Газ разрядын қос — сутегі спектрі өздігінен, сызық-сызығымен жиналады.

Серияны көрсету:

ядро атом электроны ~~~фотон: түсі — толқын ұзындығы, пунктир — көрінбейтін УК және ИҚ разряд электроны — атомды соққымен қоздырады

Орбитаны немесе диаграммадағы деңгейді бас. Жоғары — атом шам спектрінен фотон жұтады, төмен — фотон шығарады, ол спектрде сызық жағады. Сызықтың өтуі мен толқын ұзындығын білу үшін спектр сызығына меңзерді апар.

n = 1

E = −13.60 · r = 0.053

Электронды деңгейге көшіру

∞ — иондау: электрон ядродан ажырайды

Анимация жылдамдығы ×0.4

баяуырақжылдамырақ

Атом

Орбитадағы де Бройль толқыны (2πr = nλ)

Орбиталар нақты масштабта (r ∝ n²)

Диаграммадағы барлық мүмкін өтулер

Өзіңді тексер

Бор моделі бір электронды атомдар үшін дәл: сутегі және He⁺, Li²⁺ иондары. Толқын ұзындықтары ядро қозғалысын ескеріп есептелген және вакуумге сәйкес келеді. Разряд режимінде электрон сутегі өтулерінің нақты ықтималдықтарымен каскадпен түседі. Қалыпты режимде орбиталар шартты масштабта салынған, экрандағы электрон жылдамдығы шартты — тек v ∝ 1/n қатынасы сақталған.

Деңгей n

E_n = −13.6·Z²/n²

r_n = a₀n²/Z

v_n = v₁Z/n

E_ion = |E_n|

осы деңгейден иондалу энергиясы

Соңғы өту

hν = |E_k − E_n|

λ = hc / hν

ν = ΔE / h

Фотондар: шығарылды / жұтылды

Неліктен сутегі кемпірқосақ болып емес, жеке түсті сызықтар болып жарқырайды? Бор бойынша атомдағы электрон тек энергиялары Eₙ = −13,6/n² эВ рұқсат етілген орбиталарда ғана бола алады және олармен қозғалғанда сәуле шығармайды. Жарық тек деңгейден деңгейге секіргенде hν = Eₖ − Eₙ үлесімен шығарылады. Әр атомның деңгейлер жиыны өзіндік, сондықтан спектр оның «саусақ ізі» болады: n = 1-ге өтулер ультракүлгін Лайман сериясын, n = 2-ге — көрінетін Бальмер сериясын, n = 3-ке — инфрақызыл Пашен сериясын береді.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Бордың бірінші постулаты: орбиталардың кванттелуі

$$m_e v_n r_n = n\hbar = n\frac{h}{2\pi}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$

Электрон тек стационар орбиталар бойымен қозғалады және оларда сәуле шығармайды. Электронның импульс моменті ħ-қа еселі орбиталар ғана рұқсат етілген; n — бас кванттық сан

▶ Толық түсіндірме

Мұндағы mₑ = 9,11·10⁻³¹ кг — электрон массасы, vₙ мен rₙ — оның жылдамдығы мен орбита радиусы, ħ = h/2π = 1,055·10⁻³⁴ Дж·с — келтірілген Планк тұрақтысы. Шарт барлық классикалық дөңгелек орбиталардан тек дискретті жиынды таңдайды.

Кванттелудің мағынасын 1924 жылы де Бройль түсіндірді: электронға толқын ұзындығы λ = h/(mₑv) толқын сәйкес келеді. Оны Бор шартына қойсақ, 2πrₙ = n·λ шығады — орбита ұзындығына толқынның бүтін саны сыяды, және толқын өз-өзіне тұйықталып, тұрғын толқын түзеді. Симулятордағы «Орбитадағы де Бройль толқыны» белгісін қос: n орбитасында дәл n толқын ұзындығы көрінеді.

Бордың екінші постулаты: жиіліктер ережесі

$$h\nu = E_k - E_n$$

Электрон энергиясы Eₖ деңгейден энергиясы Eₙ деңгейге өткенде атом энергиясы деңгейлер энергияларының айырмасына тең бір фотон шығарады (егер Eₖ > Eₙ) немесе жұтады

▶ Толық түсіндірме

Мұндағы h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с — Планк тұрақтысы, ν — фотон жиілігі. Фотонның толқын ұзындығы λ = c/ν = hc/(Eₖ − Eₙ); hc ≈ 1240 эВ·нм екенін есте сақтау ыңғайлы, сондықтан энергиясы 1,89 эВ фотонның λ ≈ 1240/1,89 ≈ 656 нм.

Жиіліктер ережесінен екі маңызды нәрсе шығады. Біріншіден, атомның шығару спектрі сызықтық: деңгейлер дискретті, демек энергиялар айырмасы да тек белгілі бір мәндерді қабылдайды. Екіншіден, атом энергиясы қандай да бір екі деңгейдің айырмасымен дәл сәйкес келетін фотондарды ғана жұтады — сондықтан газдың жұтылу сызықтары оның шығару сызықтарымен бір орында тұрады. Симуляторда бұл бірден көрінеді: жұтылу спектріндегі қара сызық сол өтудің жарық шығару сызығының дәл астында пайда болады.

Сутегі атомының энергия деңгейлері

$$E_n = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\cdot\frac{Z^2}{n^2} = -R_y\,\frac{Z^2}{n^2}$$

n-ші орбитадағы электронның толық энергиясы. Сутегі үшін (Z = 1) Ry ≈ 13,6 эВ, сондықтан E₁ = −13,6 эВ, E₂ = −3,4 эВ, E₃ = −1,51 эВ; Z — e бірлігіндегі ядро заряды

▶ Толық түсіндірме

Толық энергия электронның кинетикалық энергиясы мен оның ядроға тартылуының потенциалдық энергиясынан тұрады: E = mv²/2 − kZe²/r. Дөңгелек орбита үшін кинетикалық энергия потенциалдық энергия модулінің жартысына тең, сондықтан толық энергия теріс және −kZe²/(2r)-ге тең. Бор радиустарын қойып, деңгейлер формуласын аламыз. Мұндағы e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл — элементар заряд, ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м — электр тұрақтысы.

Теріс энергия электронның байланысқанын білдіреді: оны босату үшін |Eₙ| энергия беру керек. Сутегінің негізгі күйі үшін бұл иондалу энергиясы 13,6 эВ. n өскен сайын деңгейлер нөлге қарай жиілейді, ал нөлден жоғары энергиясы кез келген болуы мүмкін бос электрон аймағы басталады. Сутегі тәрізді иондарда (He⁺, Li²⁺) энергиялар модулі бойынша Z² есе үлкен: He⁺ үшін E₁ = −54,4 эВ. Дәл есептеуде ядроның қозғалысы да ескеріледі: электрон массасы келтірілген массамен алмастырылады, және сутегі үшін Ry 13,598 эВ болады.

Бор орбиталарының радиустары

$$r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}\cdot\frac{n^2}{Z} = a_0\,\frac{n^2}{Z}$$

n-ші стационар орбитаның радиусы; a₀ = 0,053 нм — Бор радиусы, сутегі атомының бірінші орбитасының радиусы. Радиустар натурал сандардың квадраттарындай өседі: 1 : 4 : 9 : 16

▶ Толық түсіндірме

Формула екі шарттан шығады. Ньютонның екінші заңы: кулондық күш электронға центрге тартқыш үдеу береді, mv²/r = kZe²/r². Бордың бірінші постулаты: mvr = nħ. Жылдамдықты шығарып тастап, rₙ = a₀n²/Z табамыз, ал орбитадағы жылдамдық vₙ = v₁Z/n, мұндағы v₁ = 2,19·10⁶ м/с — бұл жарық жылдамдығының 1 %-ынан аз, сондықтан салыстырмалылық теориясын ескермеуге болады.

Радиустың квадраттық өсуі симуляторда «Орбиталар нақты масштабта» белгісін қосқанда жақсы көрінеді: n = 6 орбитасы біріншісінен 36 есе үлкен, ал ішкі орбиталар ядромен қосылып кете жаздайды. Қалыпты режимде алты орбитаның бәрі экранға сыюы үшін олар шартты масштабта салынған. n = 100 деңгейіне қозған сутегі атомының радиусы шамамен 0,5 мкм болар еді — мұндай алып «ридберг атомдарын» зертханаларда шынымен алады.

Ридберг формуласы: спектрлік сериялар

$$\frac{1}{\lambda} = R\,Z^2\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \qquad n_2 > n_1$$

Сутегі тәрізді атомның барлық сызықтарының толқын ұзындықтары; R = 1,097·10⁷ м⁻¹ — Ридберг тұрақтысы, n₁ — серияны анықтайтын төменгі деңгей, n₂ — жоғарғы деңгей

▶ Толық түсіндірме

Формуланы Борға дейін әлдеқашан тәжірибеден тапқан: 1885 жылы Бальмер оны сутегінің көрінетін сызықтары үшін таңдап алды, ал Ридберг жалпылады. Бор оны алғаш рет теориядан қорытып шығарды: Eₙ-ді жиіліктер ережесіне hν = Eₖ − Eₙ және λ = c/ν қойып, R = Ry/(hc) аламыз, ал есептелген мән өлшенгенмен сәйкес келді — бұл модельдің салтанаты болды.

Әр төменгі деңгейге n₁ өз сериясы сәйкес келеді: n₁ = 1 — Лайман сериясы (ультракүлгін, 91–122 нм), n₁ = 2 — Бальмер сериясы (көрінетін жарық және жақын ультракүлгін, 365–656 нм), n₁ = 3 — Пашен сериясы (инфрақызыл, 820–1875 нм), одан әрі Брэкет және Пфунд сериялары. n₂ → ∞ кезде сызықтар серия шекарасына жинақталады: λ = n₁²/(RZ²). Симулятордағы серия батырмасын басып, сызықтардың бірінен соң бірі осы шекараға қалай жиналатынын бақыла. Мысал: Hβ үшін (n₂ = 4, n₁ = 2) 1/λ = 1,097·10⁷·(1/4 − 1/16) ≈ 2,06·10⁶ м⁻¹, λ ≈ 486 нм.

1911 жылы Резерфорд атомның кішкентай планеталық жүйе сияқты құрылғанын көрсетті: ортасында өте кішкентай оң ядро, оның айналасында электрондар қозғалады. Бірақ классикалық электродинамика бұл модельмен үйлеспеді: шеңбер бойымен қозғалған электронның үдеуі бар, сондықтан ол үздіксіз сәуле шығарып, энергиясын жоғалтып, шамамен 10⁻⁸ с ішінде ядроға құлауы керек. Оның үстіне мұндай атомның спектрі тұтас болар еді, ал тәжірибе жеке сызықтарды берді. 1913 жылы Нильс Бор екі постулат ұсынды. Біріншісі: электрон тек стационар орбиталар бойымен қозғала алады және оларда сәуле шығармайды; импульс моменті Планк тұрақтысына еселі орбиталар ғана рұқсат етілген: m·v·r = n·ħ. Екіншісі (жиіліктер ережесі): энергиясы Eₖ деңгейден Eₙ деңгейге өткенде атом энергиясы hν = Eₖ − Eₙ болатын бір фотон шығарады немесе жұтады.

Постулаттардан орбита радиустары rₙ = a₀·n² (a₀ = 0,053 нм — Бор радиусы) және энергиялар Eₙ = −13,6/n² эВ шығады. Энергия теріс: электрон ядромен байланысқан, оны ажырату үшін жұмыс атқару керек. n → ∞ кезде энергия нөлге ұмтылады — бұл иондау. Сутегінің негізгі күйден иондалу энергиясы — 13,6 эВ. Симулятордағы деңгейлер диаграммасына қара: деңгейлер нөлге жақындаған сайын жиілейді, сондықтан жоғары деңгейлерден бір төменгі деңгейге өтулер серия шекарасына жинақталатын сызықтар береді. Электронның орбитадағы жылдамдығы vₙ = 2,19·10⁶/n м/с — экранда осы қатынас сақталған.

Орбитаны, диаграммадағы деңгейді немесе деңгей нөмірі бар батырманы бас. Егер деңгей жоғары болса, шамның тұтас спектрінен қажетті толқын ұзындығындағы фотон ұшып шығып, атомға жұтылады — жұтылу спектрінде оның орнында қара сызық қалады. Егер деңгей төмен болса, атом фотон шығарады, ол шығару спектріне түсіп, онда жарық сызық жағады. «Лайман», «Бальмер» және «Пашен» батырмалары серияның барлық өтулерін кезекпен көрсетеді. Екі спектрді салыстыр: жұтылудың қара сызықтары шығарудың жарық сызықтарымен дәл бір орында тұр — газ өзі шығаратын толқын ұзындықтарын жұтады. Сутегінің көрінетін сызықтары: Hα — 656 нм (қызыл), Hβ — 486 нм (көгілдір), Hγ — 434 нм және Hδ — 410 нм (күлгін). Олардың бәрі Ридберг формуласымен сипатталады: 1/λ = R·(1/n₁² − 1/n₂²).

«Разрядты қосу» батырмасы атомды газразрядты түтіктің бөлігіне айналдырады: ток электрондары оны соққымен қоздырады, содан кейін электрон өтулердің нақты ықтималдықтарымен каскадпен төмен түседі. Спектр өздігінен жиналады, және фотондардың көбі көрінбейтін ультракүлгінге (Лайман-α сызығы) кететіні көрінеді, ал сутегі түтігінің әйгілі қызғылт түсін қызыл Hα мен көгілдір Hβ береді. He⁺ немесе Li²⁺ ионын таңда: ядро заряды Z энергияларға Z² түрінде кіреді, сондықтан барлық сызықтар ультракүлгінге ығысады. «Де Бройль толқыны» белгісі неліктен тек белгілі бір орбиталар рұқсат етілгенін көрсетеді: орбита ұзындығына электрон толқынының бүтін санды ұзындығы сыюы керек, 2πr = n·λ.

Бор моделі сутегі спектрін алғаш рет түсіндіріп, кванттық механикаға көпір болды, бірақ оның шектері бар. Ол тек бір электронды атомдар үшін жұмыс істейді, неліктен кейбір сызықтар басқаларынан жарығырақ екенін түсіндірмейді және бірнеше электроны бар атомдарды сипаттай алмайды. Қазіргі кванттық механика орбиталарды ықтималдық «бұлттарымен» алмастырды, бірақ сутегінің энергия деңгейлерінің формуласы Eₙ = −13,6/n² эВ өзгерген жоқ. «Өзіңді тексер» белгісін қос — сұрақтар деңгейлердің, өтулердің және сызықтар түсінің байланысын бекітуге көмектеседі.