Работа и КПД цикла на графике p–V
Одноатомный идеальный газ совершает цикл $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$, показанный на графике $p$–$V$ (см. рисунок): $1 \to 2$ — изохорное нагревание, $2 \to 3$ — изобарное расширение, $3 \to 4$ — изохорное охлаждение, $4 \to 1$ — изобарное сжатие. На графике давление указано в единицах $10^5$ Па, объём — в литрах. Найдите работу газа за цикл и КПД цикла.
- $p_1 = 1 \cdot 10^5$ Па, $p_2 = 3 \cdot 10^5$ Па
- $V_1 = 2$ л $= 2 \cdot 10^{-3}$ м³
- $V_3 = 6$ л $= 6 \cdot 10^{-3}$ м³
- $A = ?$, $\eta = ?$
Работа газа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной циклом на графике $p$–$V$ (цикл идёт по часовой стрелке — работа положительна). КПД — отношение этой работы к теплоте, полученной газом от нагревателя.
1. Работа за цикл — площадь прямоугольника:
$$A = (p_2 - p_1)(V_3 - V_1) = (3 - 1) \cdot 10^5 \cdot (6 - 2) \cdot 10^{-3} = 800 \text{ Дж}$$2. Газ получает теплоту при нагревании — на участках $1 \to 2$ и $2 \to 3$. Внутренняя энергия одноатомного газа $U = \frac{3}{2}pV$. Изохора $1 \to 2$ ($A_{12} = 0$):
$$Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}V_1(p_2 - p_1) = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot 10^5 = 600 \text{ Дж}$$Изобара $2 \to 3$:
$$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \frac{3}{2}p_2 \Delta V + p_2 \Delta V = \frac{5}{2}\,p_2 \Delta V = 2{,}5 \cdot 3 \cdot 10^5 \cdot 4 \cdot 10^{-3} = 3000 \text{ Дж}$$3. Полученная теплота $Q_+ = 600 + 3000 = 3600$ Дж. КПД цикла:
$$\eta = \frac{A}{Q_+} = \frac{800}{3600} \approx 0{,}22 = 22\,\%$$$A = 800$ Дж; $\eta \approx 22\,\%$